Sucesiones y noción de límite

Diagrama de calculo diferencial: curva con recta tangente mostrando la derivada como pendiente. — Conceptos clave del calculo diferencial: limites, derivadas y optimizacion.

Mapa conceptual

La idea que gobierna todo Una sucesión es una lista infinita de números ordenados: a₁, a₂, a₃, … Decir que su límite es L no significa que algún término VALE L, sino que a partir de un punto todos los términos están tan cerca de L como tú exijas.

Ejemplo canónico: aₙ = 1/n produce 1, 1/2, 1/3, 1/4, … Los términos bajan y se apiñan alrededor de 0. Ninguno vale 0 (1/n nunca es 0), pero se acercan tanto como se quiera: decimos que el límite de 1/n es 0 cuando n tiende a infinito.

Converger es «apiñarse» en un valor; divergir es irse al infinito o quedarse saltando entre valores sin decidirse.
Sucesión	Primeros términos	¿A qué se acerca?	Converge
aₙ = 1/n	1; 0.5; 0.333; 0.25; …	0	sí
aₙ = 2 + 1/n	3; 2.5; 2.333; 2.25; …	2	sí
aₙ = n/(n+1)	0.5; 0.667; 0.75; 0.8; …	1	sí
aₙ = n	1; 2; 3; 4; …	crece sin cota	no (diverge)
aₙ = (−1)ⁿ	−1; 1; −1; 1; …	oscila, no se apiña	no (diverge)

La idea formal, sin el rigor pesado

Decir que aₙ tiende a L significa: si alguien me reta a estar a menos de una distancia ε (épsilon) de L, puedo encontrar un índice N a partir del cual TODOS los términos cumplen esa exigencia. Cuanto más estricto sea el reto (ε más pequeño), más lejos tengo que mirar (N más grande), pero siempre puedo hacerlo.

Cómo estudiar esto No te pelees con la definición epsilon-N en la primera lectura: quédate con la versión útil «los términos se apiñan en L y pueden apiñarse tanto como se pida». La formalización existe para quitar ambigüedad, no para el cálculo cotidiano.

Lee el comportamiento en la gráfica

[1/n se apiña alrededor de 0 sin tocarlo nunca]

Esta actividad interactiva ('Grafico interactivo') requiere el motor completo de Lumbre. El contenido estatico se muestra arriba; para la experiencia interactiva, visita la version online de este objeto.

La curva 1/x toca la recta y = 0 solo «en el infinito». Esa recta es la asíntota horizontal: el destino al que la sucesión se acerca sin alcanzar. Es la imagen geométrica del límite.

¿Cuál es el límite de la sucesión aₙ = 3 + 1/n cuando n tiende a infinito?

Si el límite de una sucesión existe, entonces alguno de sus términos debe ser igual a ese límite.

Clasifica cada sucesión según si converge o diverge.

Converge

Diverge

Contracjemplos que hay que tener en la cabeza

(−1)ⁿ acota entre −1 y 1 pero NO converge: se niega a apiñarse en un solo valor.
ln(n) crece sin cota, aunque cada vez más despacio: crecer sin límite sigue siendo divergencia.
Una sucesión puede tener términos enormes al principio y aun así converger: al límite solo le importa la cola.

Ejemplo resuelto

¿Converge aₙ = (3n + 1)/(n + 2)?
Divide numerador y denominador entre n, la potencia dominante.
Queda (3 + 1/n)/(1 + 2/n).
Cuando n crece, 1/n y 2/n se acercan a 0.
El límite es 3/1 = 3: la sucesión converge a 3.

En ciencia de datos los límites aparecen sin que los nombres: una serie que debe converger para que exista una probabilidad total, un algoritmo iterativo cuya sucesión de errores debe tender a 0, o el comportamiento asintótico de un estimador cuando el tamaño de muestra crece.

Vocabulario del límite

sucesión

lista infinita ordenada a₁, a₂, …

converger

apiñarse en un valor L

límite

el destino de una sucesión convergente

1/n

converge a 0

(−1)ⁿ

oscila, diverge

asíntota

recta destino que no se toca

n→∞

leer: n tiende a infinito

Límites de sucesiones (repaso formal)
Definición formal y criterios de convergencia, para consolidar la intuición.

Escribe las primeras seis cifras del límite de aₙ = (5n − 3)/(2n + 7) comprobando con valores crecientes de n, explica por qué tu cálculo de los primeros términos puede engañarte y formula la conjetura del límite exacto.

3Blue1Brown: Calculus
Serie visual de calculo diferencial con intuicion geometrica.

Compuerta de dominio: Sucesiones y noción de límite

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