Cálculo Diferencial · Matemáticas

Continuidad y asíntotas

Clasifica los tipos de discontinuidad, aplica la definición de continuidad en un punto e identifica asíntotas verticales, horizontales y oblicuas en una gráfica.

Continuidad y asíntotas

Diagrama de calculo diferencial: curva con recta tangente mostrando la derivada como pendiente.
Conceptos clave del calculo diferencial: limites, derivadas y optimizacion.

Mapa conceptual



Por qué importa La continuidad es la propiedad que hace que el mundo se comporte «sin saltos»: si hoy la temperatura es 10 °C y mañana 20 °C, en algún instante del camino pasó por 15 °C. Esa garantía, que parece obvia, es exactamente lo que una discontinuidad te quita.


Decimos que f es continua en a cuando se cumplen tres cosas a la vez: f(a) existe, el límite de f cuando x tiende a a existe, y ambos coinciden. Que falle cualquiera de las tres ya es discontinuidad.


Los tres fallos, y su nombre


  1. Evitable: el límite existe pero f(a) no, o no vale lo mismo. Un simple hueco; se «repara» definiendo bien un punto.
  2. De salto: los límites laterales existen pero son distintos. Típico de funciones a trozos y de variables_indicatoras.
  3. Infinita: la función se dispara cerca de a. Ahí aparece una asíntota vertical.


Asíntotas: las rectas-destino


Las asíntotas describen el comportamiento en los bordes del dominio: los polos y el «infinito».
TipoCómo se detectaEjemplo
Verticalel denominador se anula en a y la función crece sin cota1/(x − 2) en x = 2
Horizontalel límite cuando x → ±∞ es un número L1/x tiende a 0
Oblicuael grado del numerador supera al del denominador en unox + 1/x


[1/(x−2): se dispara al acercarse a 2]
Esta actividad interactiva ('Grafico interactivo') requiere el motor completo de Lumbre. El contenido estatico se muestra arriba; para la experiencia interactiva, visita la version online de este objeto.


Lee la gráfica con cuidado La recta x = 2 dibujada aquí es sólo una guía visual: la asíntota real es la recta vertical que la curva persigue sin cruzar. Al acercarte a 2 por la izquierda, f tiende a −∞; por la derecha, a +∞.


La función f(x) = (x² − 1)/(x − 1) presenta en x = 1 una discontinuidad…


Toda función racional es continua en todo su dominio.


Clasifica cada situación según el tipo de discontinuidad o asíntota que describe.
Evitable
De salto
Asíntota vertical
Asíntota horizontal


Errores al leer continuidad



Ejemplo resuelto


  1. Analiza f(x) = 1/(x² − 4).
  2. Factoriza el denominador: (x − 2)(x + 2); dominio: todo x distinto de ±2.
  3. Los factores no cancelan: en x = 2 y x = −2 hay discontinuidades infinitas.
  4. Asíntotas verticales: x = 2 y x = −2.
  5. Como el grado del denominador supera al del numerador, el límite en ±∞ es 0: asíntota horizontal y = 0.


Para modelar, la continuidad no es un adorno teórico: el teorema del valor intermedio garantiza que una función continua que pasa de negativo a positivo tiene un cero, que es exactamente lo que busca un algoritmo de raíz. Y los puntos de discontinuidad marcan dónde un modelo deja de ser confiable.


Botiquín de continuidad
continua en a
f(a) existe, límite existe, coinciden
evitable
hueco, el límite existe
de salto
laterales distintos
infinita
se dispara: asíntota vertical
asíntota horizontal
límite finito en ±∞
valor intermedio
continua + cambio de signo = hay raíz


Continuidad y asíntotas (repaso formal)
Clasificación de discontinuidades y cálculo de asíntotas con ejemplos graduados.


Reflexiona sobre un modelo real (precio de la luz por franjas, coste de envío por peso, probabilidad de error por tamaño de muestra) y decide si su función de coste es continua o presenta saltos. Indica dónde y de qué tipo.


3Blue1Brown: Calculus
Serie visual de calculo diferencial con intuicion geometrica.


Compuerta de dominio: Continuidad y asíntotas
Se requiere 70% de aciertos para avanzar.