Regla de la cadena
Para una composición y igual a f de g de x, la derivada respecto a x no es simplemente f por g. La regla dice que se evalúa la derivada de la externa en la interna, y se multiplica por la derivada de la interna: f de g de x por g de x.
Identificar externa e interna
- La interna es lo que está sustituido dentro de otra función.
- La externa es la operación que envuelve a la interna.
- Ver el problema como capas evita aplicar la regla a ciegas.
Los pasos mecánicos
- Deriva la externa dejando la interna intacta.
- Multiplica por la derivada de la interna.
- Simplifica solo si aporta claridad.
Intuición de tasas
Imagina que una subida de temperatura dilata un metal y el metal mueve una aguja. Cuánto mueve la aguja por grado depende de cuánto se dilata el metal por grado y de cuánto mueve la aguja por unidad de dilatación: el efecto total es el producto.
Notación de Leibniz
Escrita como dy partido por dx igual a dy partido por du, por du partido por dx, la regla parece una cancelación de diferenciales. Esa notación, aunque informal, hace memorables muchos cambios de variable.
Un ejemplo guiado
Derivar seno de tres x al cuadrado: la externa es el seno, cuya derivada es coseno evaluado en el mismo argumento; la interna es tres x al cuadrado, de derivada seis x. El resultado es coseno de tres x al cuadrado por seis x.
Cadenas más profundas
- Con tres o más capas, la regla se aplica capa a capa, de fuera a dentro.
- Cada capa aporta un factor derivado al producto final.
- Un despiste en una capa interior invalida todo el resultado.
Errores frecuentes
- Olvidar el factor de la interna: derivar la externa y no multiplicar por la interna.
- Evaluar la derivada externa en x en vez de en la interna.
- Confundir qué capa es interna cuando hay paréntesis anidados.
Regla de la cadena y modelos
Un modelo que aplica transformaciones en cascada es una composición larguísima. Su gradiente se obtiene encadenando derivadas: por eso esta regla es el motor oculto de casi todo entrenamiento.
La retropropagación
- El aprendizaje automático propaga errores hacia atrás gracias a la regla de la cadena.
- Cada parámetro acumula el producto de derivadas de su camino a la salida.
- Entender la cadena hace comprensible el descenso de gradiente.
Ejemplo resuelto: derivar una potencia compuesta
Se quiere la derivada de la función que eleva al cuadrado la cantidad tres x más uno. Se ve como una composición de dos capas.
- Identificar la externa, elevar al cuadrado, y la interna, tres x más uno.
- Derivar la externa dejando la interna intacta: dos veces la interna.
- Multiplicar por la derivada de la interna, que es tres.
- Reunir los factores: dos por tres por la interna, o seis veces tres x más uno.
- Simplificar y comprobar evaluando en un punto.
¿Para qué sirve en la realidad?
La regla de la cadena es el motor de la retropropagación: al entrenar una red se multiplican las derivadas de cada capa para saber cómo ajustar cada peso, algo inviable de calcular a mano sin esta regla.
Al derivar una composición, la derivada de la función externa debe evaluarse en:
La derivada de f de g de x es simplemente f de x por g de x.
Cadena
Ordena los pasos para derivar una composición con la regla de la cadena:
Capas
Externa
Interna
Producto
Regla de la cadena
Derivada de una composición de funciones.
Une cada capa de una composición con su papel:
Derivar composiciones
# Regla de la cadena ## Idea ### efectos que se multiplican ### capas de fuera a dentro ## Mecánica ### derivada externa en la interna ### por derivada de la interna ## Uso ### retropropagación ### descenso de gradiente
Diferenciación automática
Cálculo sistemático de derivadas encadenando reglas; base de la retropropagación.
Explica con la analogía de la temperatura, el metal y la aguja por qué los efectos de una cadena de dependencias se multiplican y no se suman.