Optimización: máximos y mínimos
Extremos y puntos críticos
Un máximo local es un punto cuya valor supera a los vecinos; un mínimo local, lo contrario. En el interior del dominio, ambos ocurren donde la derivada se anula o no existe: esos son los puntos críticos.
El procedimiento
- Derivar la función objetivo.
- Igualar la derivada a cero y resolver: candidatos.
- Clasificar cada candidato y revisar los bordes del dominio.
Criterio de la primera derivada
Si la pendiente pasa de positiva a negativa, hay un máximo; de negativa a positiva, un mínimo. Estudiar el signo alrededor del candidato basta para clasificarlo.
Criterio de la segunda derivada
- Segunda derivada positiva en el punto: la curva abre arriba, es mínimo.
- Negativa: abre abajo, es máximo.
- Cero: el criterio no decide, hay que mirar más allá.
Extremos absolutos y cotas
El mejor valor de todo el intervalo puede estar en un punto crítico o en un extremo del dominio. Ignorar las fronteras es el error más común al optimizar en intervalos cerrados.
Puntos de inflexión que engañan
- Donde la derivada se anula puede no haber extremo, solo un descansadero.
- El ejemplo típico es la cúbica en el origen.
- Por eso cero derivada es condición necesaria, no suficiente.
Modelar el problema real
- Escribir la cantidad a optimizar como función de una sola variable.
- Usar las restricciones para eliminar variables.
- Fijar el dominio físico donde tiene sentido la solución.
Ejemplo de contorno fijo
Con una cantidad fija de valla, el rectángulo de máxima área es el cuadrado. Plantear el área en función de un lado, derivar e igualar a cero lo revela, y las fronteras (lado cero) dan el mínimo.
Comprobar que es un máximo, no un desastre
- Verificar el tipo de extremo con alguna derivada.
- Revisar que la solución es realista y no un artefacto del modelo.
- En aplicaciones, contrastar con el sentido común del dominio.
Optimización y aprendizaje automático
Entrenar un modelo es minimizar una función de pérdida: un problema de optimización en muchas variables. El gradiente generaliza la idea de «donde la pendiente se anula» a dimensiones altas.
Ejemplo resuelto: el rectángulo de mayor área con valla fija
Disponemos de veinte metros de valla para cercar un rectángulo y queremos la máxima área.
- Expresar la condición: el perímetro, dos base más dos altura, igual a veinte.
- Despejar una variable y escribir el área en función de una sola.
- Derivar el área y igualar a cero para hallar el candidato.
- Comprobar con la segunda derivada que es un máximo.
- Concluir que la solución es el cuadrado de lado cinco.
¿Para qué sirve en la realidad?
Optimizar con derivadas decide precios, dosis y diseños: buscar donde la pendiente se anula y verificar los bordes es la receta que convierte un problema de lo mejor posible en un cálculo concreto.
En un punto crítico interior donde existe un máximo local, la derivada primera:
Igualar la derivada a cero garantiza que en esa solución hay un máximo o un mínimo.
Extremos
Ordena las etapas para optimizar una función en un intervalo cerrado:
Función
Derivar
Candidatos
Clasificar
Fronteras
Problema de optimización
Buscar el mejor elemento según una función objetivo.
Une cada prueba para clasificar un punto crítico con lo que revela:
Máximos y mínimos
# Optimización ## Candidatos ### puntos críticos: derivada nula ### bordes del dominio ## Clasificar ### signo de la primera derivada ### criterio de la segunda ## Absoluto ### comparar candidatos y fronteras ### dominio físico realista
Punto crítico
Punto donde la derivada se anula o no existe; candidato a extremo.
Una tienda quiere fijar el precio que maximice su ingreso, sabiendo que a mayor precio vende menos. Describe la función objetivo, por qué su máximo está donde la derivada se anula y qué podría invalidar la solución.
Compuerta de dominio: Optimización: máximos y mínimos
Se requiere 70% de aciertos para avanzar.