Cuadernillo de problemas resueltos: limites y derivadas

El calculo diferencial es el idioma en el que estan escritas las reglas de optimizacion de machine learning. Este cuadernillo entrena la mechanicsa: nueve problemas clasicos resueltos con todos los pasos visibles, desde el limite de una fraccion indeterminada hasta el problema de la caja que maximiza volumen, pasando por la regla de la cadena y los problemas de razones relacionadas. Trabaja con papel, lapiz y cronometro: la fluidez se mide en tiempo, no en memoria.

Diagrama de calculo diferencial: curva con recta tangente mostrando la derivada como pendiente. — La derivada es pendiente en un punto: el motor de todo algoritmo de descenso de gradiente.

Como estudiar con este cuadernillo Orden sugerido: problemas 1 a 4 (limites y continuidad), despues 5 a 7 (reglas de derivacion) y por ultimo 8 y 9 (aplicaciones). Cuando termines, el autoexamen simula un examen real: 20 minutos, sin apuntes.

Bloque 1 · Limites y continuidad

Problema 1. Calcula el limite de (x^2 − 4)/(x − 2) cuando x tiende a 2.

Solución paso a paso

Sustitucion directa da 0/0: indeterminacion. Eso significa que hay un factor comun que cancelar.
Factoriza el numerador: x^2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
Cancelel factor (x − 2): la funcion se reduce a x + 2 para todo x ≠ 2, que es exactamente lo que un limite necesita.
Limite: 2 + 2 = 4. Ojo: la funcion NO esta definida en 2; el limite no depende del valor en el punto, sino del entorno.

Problema 2. Calcula el limite de sin(3x)/x cuando x tiende a 0.

Solución paso a paso

Recuerda el limite fundamental: lim sen(t)/t = 1 cuando t tiende a 0.
Acomoda el argumento: sin(3x)/x = 3·sin(3x)/(3x). Con t = 3x, cuando x → 0 tambien t → 0.
Resultado: 3·1 = 3. La tecnica de "meter el coeficiente dentro y compensar fuera" resuelve variantes como sen(5x)/(2x) → 5/2.

Problema 3. Calcula el limite de (3x^2 + 1)/(2x^2 − x) cuando x tiende a infinito.

Solución paso a paso

En limites al infinito manda el termino de mayor grado. Divide numerador y denominador entre x^2.
Queda (3 + 1/x^2)/(2 − 1/x). Cuando x → ∞ los terminos 1/x y 1/x^2 se anulan.
Resultado: 3/2. Regla general: igual grado → cociente de coeficientes; grado mayor en denominador → 0; en numerador → ±∞.

Problema 4. Sea f(x) = x^2 + c si x ≤ 1, y f(x) = 2x − 1 si x mayor que 1. ¿Que valor de c hace continua f en x = 1?

Solución paso a paso

Continuidad en 1 exige: limite por la izquierda = limite por la derecha = valor en el punto.
Izquierda: lim x→1− de x^2 + c = 1 + c. Derecha: lim x→1+ de 2x − 1 = 1. Valor en el punto: f(1) = 1 + c (usa la primera rama).
Iguala: 1 + c = 1 → c = 0. Comprueba: con c = 0 las dos ramas dan 1 en x = 1.

Error frecuente Creer que un limite "no existe" porque la funcion no esta definida en el punto. El limite describe el comportamiento CERCA del punto, no EN el punto. (x^2−4)/(x−2) tiene limite 4 aunque la funcion no exista en 2.

Bloque 2 · Reglas de derivacion

Problema 5. Deriva f(x) = x^2 − 3x usando la definicion de derivada como limite.

Solución paso a paso

Escribe el cociente incremental: [f(x+h) − f(x)]/h = [(x+h)^2 − 3(x+h) − x^2 + 3x]/h.
Expande: (x^2 + 2xh + h^2 − 3x − 3h − x^2 + 3x)/h = (2xh + h^2 − 3h)/h.
Factoriza h: h(2x + h − 3)/h = 2x + h − 3.
Limite h → 0: f'(x) = 2x − 3. Verificacion geometrica: en x = 0 la pendiente es −3, coherente con la tangente y = −3x que pasa por el origen.

Problema 6. Deriva y = (5x^2 + 1)^3.

Solución paso a paso

Identifica la composicion: externa u^3 con u = 5x^2 + 1. La regla de la cadena dice dy/dx = 3u^2 · u'.
Deriva la interna: u' = 10x.
Multiplica: y' = 3(5x^2 + 1)^2 · 10x = 30x(5x^2 + 1)^2. La regla de la cadena es la retropropagacion en miniatura: derivas capa a capa y multiplicas.

Problema 7. Sea f(x) = x^2·eˣ. Halla f'(x) y la ecuacion de la recta tangente en x = 1.

Solución paso a paso

Producto u·v con u = x^2, v = eˣ: f' = 2x·eˣ + x^2·eˣ = eˣ(2x + x^2).
Punto de tangencia: f(1) = 1·e = e.
Pendiente: f'(1) = e·(2 + 1) = 3e.
Recta: y = e + 3e(x − 1). La tangente es la aproximacion lineal de f cerca de 1: el corazon de la linealización que usa el gradiente descendente.

Bloque 3 · Aplicaciones

Problema 8 (razones relacionadas). Una escalera de 5 m apoyada en un muro desliza: su pie se aleja a 1 m/s cuando esta a 3 m del muro. ¿A que velocidad resbala la parte alta?

Solución paso a paso

Modela: x^2 + y^2 = 25 con x el pie, y la altura. Deriva en el tiempo: 2x·x' + 2y·y' = 0.
En el instante: x = 3 → y = √(25 − 9) = 4.
Sustituye x' = 1: 2·3·1 + 2·4·y' = 0 → y' = −6/8 = −0.75 m/s.
El signo menos indica que la altura BAJA: 0.75 m/s hacia abajo. Las razones relacionadas atan velocidades mediante derivadas implicitas.

Problema 9 (optimizacion). De una lamina cuadrada de 12 × 12 cm se cortan cuadrados iguales de lado x en las esquinas para doblar una caja abierta. ¿Que x maximiza el volumen?

Solución paso a paso

Volumen: V(x) = x·(12 − 2x)^2 con 0 ≤ x ≤ 6 (fuera de ahi no hay caja).
Deriva con producto y cadena: V' = (12 − 2x)^2 + x·2(12 − 2x)·(−2) = (12 − 2x)(12 − 2x − 4x) = (12 − 2x)(12 − 6x).
Puntos criticos: x = 6 (borde, V = 0) o x = 2.
Criterio: para x menor que 2, V' es positiva; para x entre 2 y 6, negativa. Cambio de + a −: maximo. V(2) = 2·8^2 = 128 cm^3.

Mapa de estrategias

Caja de herramientas de limites y derivadas

Autoexamen cronometrado (20 minutos)

Calcula el limite de (x^2 − 9)/(x − 3) cuando x tiende a 3.

¿Cual es la derivada de x^3 evaluada en x = 2?

Calcula el limite de sen(5x)/x cuando x tiende a 0.

¿Cual es la derivada de (3x + 1)^4?

La funcion valor absoluto |x| es derivable en x = 0.

Con el problema de la caja de 12 × 12, ¿cual es el volumen maximo en cm^3?

Video de repaso

Para profundizar

Khan Academy: Calculo diferencial
Banco de ejercicios con solucion por pasos.

Pauls Online Notes: Calculus I
Notas completas con ejemplos resueltos, nivel universitario.

El problema de la caja alcanza su maximo cuando V' = 0. En entrenamiento de modelos rara vez el optimo cae "redondo": ¿por que crees que los algoritmos suben y bajan en zigzag cerca del minimo?