Integral indefinida y antiderivadas

Diagrama de calculo integral: area bajo la curva entre dos puntos con simbolo de integracion. — El calculo integral: antiderivadas, tecnicas de integracion y aplicaciones.

Mapa conceptual

Deshacer la derivada Durante un semestre aprendiste a derivar: de una función sacar su tasa de cambio. La integral hace el camino inverso: a partir de la tasa, recuperar la función. Es deshacer, con una pequeña sombra llamada constante C.

¿Qué es una antiderivada?

Una función F es antiderivada (o primitiva) de f si la derivada de F es f. Es decir, F se invierte: buscamos F conociendo f. Por ejemplo, como la derivada de x al cubo partido por 3 es x al cuadrado, esa es una antiderivada de x al cuadrado.

Por qué aparece la constante C

La derivada aniquila las constantes: x al cuadrado y x al cuadrado más 7 tienen la misma derivada. Así que al integrar no podemos saber qué término constante había originalmente. Se representa con C, la constante de integración, y la integral indefinida es en realidad una familia de funciones.

Notación

Se escribe integral de f de x igual a F más C. El símbolo integral es una S estilizada que evoca una suma; f de x es el integrando (a lo que integramos) y dx indica la variable de integración. Aprender a leer esta notación evita errores tontos.

Regla de la potencia

Para integrar una potencia x elevado a n (con n distinto de menos 1), se sube el exponente en uno y se divide entre el nuevo exponente: x a n más 1 partido por n más 1. Es la derivada de la potencia al revés. El caso n igual menos 1 (es decir 1 entre x) se integra a logaritmo natural de x.

Linealidad

La integral es lineal: la integral de una suma es la suma de las integrales, y las constantes salen fuera. Esto permite descomponer polinomios término a término e integrar cada parte por separado, igual que al derivar.

Cada regla de integración se comprueba siempre derivando el resultado.
Función f	Una primitiva F	Se verifica derivando
x al cuadrado	x al cubo entre 3	derivar da x al cuadrado
constante k	k por x	derivar da k
1 entre x	logaritmo de x	derivar da 1 entre x
exponencial e a x	e a x	derivar da e a x

¿Cuál es la integral indefinida de 2x?

Integrales que se heredan de las derivadas

Cada fórmula de derivación, leída al revés, es una integral. Seno integra a menos coseno; coseno a seno; exponencial a sí misma. Tener frescas las derivadas hace trivial media tabla de integrales.

Verificar derivando

El truco definitivo: la integral es correcta si al derivarla recuperas el integrando. Nunca confíes ciegamente en un resultado de integración: derívalo. Es tu control de calidad instantáneo y gratis.

Valor inicial elige C

La constante C queda indeterminada hasta que das una condición: un punto por el que pasa F. Con F de 0 igual 5, por ejemplo, despejas C igual 5. La integral indefinida es infinitas soluciones; una condición inicial selecciona una.

Errores frecuentes

Olvidar la constante C en integrales indefinidas.
Aplicar la regla de la potencia con exponente menos 1, que va por logaritmo.
Integrar un producto como si fuera una suma: la integral no se reparte sobre multiplicaciones así.

Dos primitivas de la misma función solo pueden diferir en una constante.

Integrar es buscar «de dónde viene»

Si la derivada responde «¿a qué velocidad voy?» desde la posición, integrar responde «¿dónde estoy?» desde la velocidad. Ese paso de tasa a acumulado es la esencia, y la constante C recuerda que no sabemos el punto de partida.

Clasifica cada integral por su regla:

Potencia

Logaritmo

Exponencial

Trigonometrica

Wikipedia
Tabla de integrales indefinidas de referencia.

Calcula una primitiva de f de x igual 3 x al cuadrado más 2x, determínale la constante C sabiendo que F de 0 vale 1, y verifica tu respuesta derivando.

3Blue1Brown: Calculus
Serie visual de calculo integral y diferencial.