Integración por sustitución
Mapa conceptual
La idea
Al derivar funciones compuestas usaste la regla de la cadena: la derivada de F de g de x es F de g por g. Integrar por sustitución revierte exactamente eso: si el integrando tiene la forma f de g por g, lo reconoces como derivada de cadena y reduces la integral.
Elegir u
- Identifica una «parte de dentro» que se derive a otra parte presente.
- Sea u esa función interior; calcula du (su diferencial).
- Reescribe toda la integral en términos de u, incluida dx.
- Integra en u y vuelve a la variable original al final.
El patrón que buscas
Buscas algo elevado a una potencia por su derivada, o un argumento dentro de una función por la derivada de ese argumento. Si aparece 2x por fuera de x al cuadrado más 1, es señal de sustitución con u igual al interior.
Un ejemplo resuelto
Integral de 2x por e a x al cuadrado. Tomo u igual x al cuadrado; entonces du igual 2x de x. La integral queda integral de e a u de u igual e a u igual e a x al cuadrado. La sustitución convirtió algo feo en una exponencial trivial.
Diferenciales
La notación con du es poderosa: du igual g de x por dx te deja «sustituir un bloque por otro» en la integral. Solo recuerda que todo el integrando debe traducirse a u: si sobra una x suelta sin su diferencial emparejado, algo falla.
Ajustar constantes
A veces du sale multiplicado por un número (du igual 2x de x cuando querías x de x). Se compensa con constantes, que salen fuera de la integral sin problema. Un factor constante no rompe la sustitución.
Límites en integrales definidas
En una integral definida puedes cambiar los límites al mismo tiempo que cambias de variable: si u igual g de x, calcula u(a) y u(b) y evalúa directamente en u. Así no necesitas volver a la variable original. Otra opción es revertir la sustitución antes de evaluar.
| Paso | Qué haces | Comprobación |
|---|---|---|
| Elegir u | la función interior que se repite | aparece su derivada |
| Calcular du | diferencial de u | cubre el resto del integrando |
| Reescribir | todo en u | no queda ninguna x suelta |
| Integrar y volver | primitiva en u, luego en x | derivar da el integrando original |
Para integrar 2x por coseno de x al cuadrado, ¿qué sustitución es la natural?
Reconocer sin forzar
No todo se integra por sustitución. Si no ves el patrón (función interior por su derivada), puede que necesites otro método (partes, fracciones parciales...). Intentar una sustitución forzada es una pérdida de tiempo; mejor diagnosticar la forma primero.
Sustituciones que simplifican
A veces u no es el «interior» evidente sino un bloque que limpia la expresión: una raíz, un denominador. La regla de oro: prueba el u cuya derivada te deje la integral más simple, no solo la más estéticamente correcta.
Errores frecuentes
- Dejar una x sin traducir tras el cambio: la integral mixta en u y x está mal.
- Olvidar volver a la variable original al final de una sustitución.
- Ajustar mal los límites en una integral definida cambiada de variable.
Integrar por sustitución es, en esencia, invertir la regla de la cadena de la derivación.
Con práctica, a la vista
Al principio se busca u con ensayo y error; con tiempo, reconoces el patrón de golpe. Como leer música: primero nota a nota, luego ves acordes. El objetivo es que «2x por e a x al cuadrado» te evoque inmediatamente la primitiva.
Ordena los pasos de la sustitución:
Elegir
Diferencial
Sustituir
Volver
Integra x por la raíz de x al cuadrado más 1 usando sustitución. Indica tu elección de u, el diferencial y verifica derivando tu primitiva.
3Blue1Brown: Calculus
Serie visual de calculo integral y diferencial.