Integración por partes
Mapa conceptual
De dónde sale la fórmula
Arrancas de la regla del producto: la derivada de u por v es u v más u v. Despejas el término u v y integras ambos lados. El primer miembro se recompone como u v, y del segundo desaparece la integral. Lo que queda es la fórmula de integración por partes, que transfiere la derivada de un factor al otro.
Qué es u y qué es dv
En el integrando identificas dos piezas: u, que vas a diferenciar, y dv, que vas a integrar. Calculas du (derivando u) y v (integrando dv). La nueva integral que aparece, integral de v du, debe ser más simple que la original. Si es más complicada, elegiste mal el reparto.
La regla LIATE
Para elegir u sin dudas, la heurística LIATE ordena los tipos de función por prioridad al ponerlas como u: Logarítmicas, Inversamente trigonométricas, Algebraicas (potencias, polinomios), Trigonométricas y Exponenciales. La que aparezca primero en la lista es la que se deriva; la restante se integra.
Primer ejemplo: x por e a x
El integrando es un producto de una potencia por una exponencial. Por LIATE, u igual x (algebraica) y dv igual e a x dx. Entonces du igual dx y v igual e a x. La fórmula da x e a x menos integral de e a x dx, que es x e a x menos e a x más C. El factor x desapareció al derivar y la integral se volvió trivial.
Cuando toca repetir
Si el integrando lleva x al cuadrado por e a x, tras una primera partes queda un x por e a x todavía productivo. Vuelves a aplicar la misma regla sobre la integral restante. Los polinomios se consumen grado a grado: cada aplicación baja una potencia, hasta que el término algebraico se anula.
Casos recursivos
Hay integrales donde las partes te devuelven la integral original, multiplicada por una constante, pero con el signo cambiado: es el caso de e a x por seno x. Ese eco es una ventaja: pasas la integral repetida a la izquierda de la ecuación, despejas y obtienes el valor sin haberla calculado del modo duro.
Integrales que solo se rinden aquí
Ciertas funciones no tienen primitiva elemental por otro camino. El logaritmo natural de x se integra por partes tomando u igual al logaritmo y dv igual dx: al derivar el logaritmo queda una fracción simple y el resultado, x log x menos x más C, aparece casi solo.
Estrategia de elección
- Separa el producto en dos factores y prueba a poner cada uno como u.
- Usa LIATE como desempate cuando dudes entre dos candidatos.
- Antes de lanzarte, comprueba que derivar tu elegido lo simplifica y que el otro es integrable.
- Al terminar, deriva el resultado para confirmar que recuperas el integrando.
Cuándo NO usar partes
Si un factor es la derivada exacta del otro, tienes una sustitución disfrazada, no una integración por partes. La regla es: si reconoces el patrón f de g por g prima, ve directo a la sustitución. Partes es para los productos tercos donde ninguna sustitución natural funciona.
Signos y concentración
El error clásico es un despiste con un signo al aplicar menos integral de v du. Como el método suele encadenar varios pasos, un signo torcido en el primero contamina todo el resto. Escribe cada pieza claro antes de ensamblar.
| Tipo de integrando | U elegida (LIATE) | Por qué funciona |
|---|---|---|
| potencia por exponencial | la algebraica | derivar baja el exponente hasta anularlo |
| potencia por seno o coseno | la algebraica | consume el polinomio en pocas partes |
| solo logaritmo | el logaritmo | al derivarlo queda una fracción simple |
| exponencial por trigonométrica | cualquiera | la integral vuelve y se despeja |
En la integral de x por e a x dx, ¿qué elección de u hace que el método funcione?
Verificación siempre
Toda primitiva obtenida por partes debe pasar el control de calidad: deriva tu respuesta. Al aplicar la regla del producto a u v menos integral de v du, el resultado debe ser exactamente el integrando original. Si no lo es, revisa v y du.
Partes definidas
En integrales definidas, el término u v se evalúa entre los límites y la integral restante se calcula igualmente por partes. Cuidado con arrastrar los límites a cada subcálculo: es fuente frecuente de errores numéricos.
Integraciones encadenadas
Algunos integrandos requieren repetir partes tantas veces como grado tenga el polinomio. Para x al cubo por e a x son tres aplicaciones. Conviene organizar el trabajo en una tabla que registre cada u, cada dv, y el signo alternante, para no perder término por el camino.
Errores frecuentes
- Elegir u de modo que la nueva integral resulte más difícil que la original.
- Perder un signo al escribir menos integral de v du.
- Olvidar la constante C al acabar una integral indefinida por partes.
La integración por partes se deduce de la regla del producto de la derivación.
Elección con criterio
Aunque LIATE ayuda, la última palabra la tiene el sentido común: la buena elección es la que integra limpio. Cuando un truco memorizado y la evidencia del cálculo discrepan, haz caso al cálculo.
Ordena los pasos de una integración por partes:
Identificar
Diferenciar
Integrar
Ensamblar
Wikipedia
Formulación y ejemplos adicionales de integración por partes.
Integra x por coseno de x dx por partes. Explica por qué elegiste u igual x y no u igual coseno, y verifica tu resultado derivando.
3Blue1Brown: Calculus
Serie visual de calculo integral y diferencial.