Áreas entre curvas y valor medio

Área bajo una curva

Para una función no negativa, la integral definida entre a y b igual al área comprendida entre su gráfica, el eje horizontal y las verticales en a y b. Cuando la función toma valores negativos, la integral cuenta esas zonas con signo negativo: es área algebraica, no geométrica. Para obtener área real hay que tomar valores absolutos o partir el intervalo.

Área entre dos curvas

Si una función f se mantiene por encima de otra g en todo el intervalo, el área entre ambas es la integral de la diferencia f menos g. Restar «altura menos altura» en cada punto y acumular: el resultado es la región comprendida entre las dos gráficas, sin importar dónde estén respecto al eje x.

Encontrar los puntos de corte

Los límites de integración suelen ser las abscisas donde las curvas se cruzan, es decir donde f igual g. Resolver esa ecuación da los extremos de la región. Si las curvas se cortan varias veces dentro del intervalo, hay que partir en trozos y decidir en cada uno cuál queda arriba.

¿Vertical u horizontal?

A veces es más cómodo integrar en x (bandas verticales) y otras en y (bandas horizontales). Se elige la dirección que reduzca el número de trozos: si al integrar en x habría que partir en tres regiones y en y basta una, integra en y. La elección es puramente de conveniencia, el área es la misma.

El valor medio

El valor medio de una función en un intervalo es la integral definida dividida entre la longitud del intervalo, b menos a. Es la altura de un rectángulo de esa anchura que tiene exactamente la misma área que la región bajo la curva: el promedio de todos los valores de la función.

Interpretación del promedio

Si la temperatura varía durante el día, su valor medio es la temperatura constante que acumularía el mismo calor total. Si una señal eléctrica oscila, su valor medio respecto al tiempo es la componente de continua. Promediar una cantidad que cambia continuamente es, literalmente, integrar y dividir.

Teorema del valor medio para integrales

Para una función continua, existe al menos un punto del intervalo donde su valor coincide con el valor medio. Gráficamente: la curva corta a su recta promedio en algún lugar. Es garantía de que el promedio no es una abstracción inalcanzable sino un valor realmente tomado por la función.

Áreas con signo, trampa clásica

Si calculas el área entre dos curvas que se cruzan como una sola integral de la diferencia, las partes que van por encima y por debajo restan en vez de sumar, y puedes obtener cero para una región con área evidente. La corrección: partir en los cortes y sumar valores absolutos.

Excedente y déficit

Restar funciones tiene lectura económica: la integral de la oferta menos la demanda, o del ingreso menos el coste, mide un excedente acumulado. En probabilidad, integrar una diferencia de funciones de distribución compara dos poblaciones. El área entre curvas modela el «neto» entre dos fuerzas.

Elección de variable

Cuando una de las fronteras es más fácil de escribir como función de y, integrar en y evita despejes. Compara siempre las dos direcciones antes de lanzarte: el coste de plantear mal la integración es alto en tiempo.

Promedios ponderados

El valor medio asigna el mismo peso a cada instante. En aplicaciones con importancia desigual se usa un promedio ponderado: la integral de la función por una densidad de peso. Es el puente hacia los valores esperados de la estadística.

Errores frecuentes

• Olvidar partir la integral cuando las curvas se cruzan dentro del intervalo.
• Restar en el orden equivocado y obtener área negativa.
• Confundir el valor medio con evaluar la función en el punto medio del intervalo.

Unidad del resultado

Cuidado con las unidades: un área entre curvas combina las unidades de ambas variables, mientras que el valor medio tiene las mismas unidades que la función. En problemas aplicados, comprobar unidades detecta montajes equivocados de integración.

3Blue1Brown: Calculus
Serie visual de calculo integral y diferencial.