Cuadernillo de problemas resueltos: integrales y aplicaciones

Este cuadernillo es tu banco de ejercicios con solucion detallada de Calculo Integral. Integrar es la operacion inversa de derivar, y en ciencia de datos aparece cada vez que acumulas: area bajo una curva de densidad, perdida total, probabilidad, gradiente integrado. Como siempre: intenta cada problema cinco minutos en papel antes de revelar la solucion; si necesitas leerla, tapala y reescribela tu solo.

Diagrama de calculo integral: area bajo la curva, metodo del disco y simbolos de sumatoria. — La integral empieza como suma: el area bajo la curva es el limite de infinitos rectangulos.

Como usar este cuadernillo Ocho problemas resueltos cubren sustitucion, integracion por partes, teorema fundamental, areas entre curvas, valor medio, impropias, volumenes y ecuaciones diferenciales basicas. Despues, mapa de estrategias y autoexamen cronometrado de 20 minutos con clave.

Bloque 1 · Tecnicas de integracion

Problema 1. Calcula la integral ∫ 2x·(x^2 + 1)^6 dx.

Solucion paso a paso

Busca una funcion interna cuya derivada aparezca multiplicando: la interna es u = x^2 + 1 y su derivada es 2x, que esta ahi. Es la senal del metodo de sustitucion.
Cambia de variable: u = x^2 + 1, du = 2x dx. La integral se convierte en ∫ u^6 du, una potencia pura.
Integra la potencia: ∫ u^6 du = u^7/7 + C.
Deshaz el cambio: (x^2 + 1)^7/7 + C.
Verifica derivando: d/dx [(x^2+1)^7/7] = (1/7)·7(x^2+1)^6·2x = 2x(x^2+1)^6 ✓. Comprobar derivando es obligatorio: derivar es mas facil que integrar.

Problema 2. Calcula ∫ x·e^x dx por integracion por partes.

Solucion paso a paso

El integrando es producto de dos familias distintas (polinomio por exponencial): toca partes. Formula: ∫ u dv = uv − ∫ v du.
Elige u = x (que se simplifica al derivar) y dv = e^x dx (que no cambia al integrar). Regla practica LIATE: Log, Inversa trig, Algebraico, Trig, Exponencial: el primero de la lista es u.
Calcula du = dx y v = e^x.
Aplica: x·e^x − ∫ e^x dx = x·e^x − e^x + C = e^x(x − 1) + C.
Verifica: d/dx [e^x(x−1)] = e^x(x−1) + e^x·1 = x·e^x ✓.

Error frecuente Elegir u al reves en partes: si tomas u = e^x y dv = x dx, la integral saliente ∫ e^x·(x^2/2) dx es MAS complicada que la original. La eleccion buena es la que hace decrecer u al derivar.

Bloque 2 · Teorema fundamental y areas

Problema 3. Si F(x) = ∫₀^(x^2) sen(t) dt, calcula F′(x).

Solucion paso a paso

El teorema fundamental dice: si G(x) = ∫₀^x f(t) dt entonces G′(x) = f(x). Aqui el limite superior no es x sino x^2: hay cadena.
Encadena: F′(x) = f(limite) · (derivada del limite) = sen(x^2) · 2x.
Resultado: F′(x) = 2x·sen(x^2). El limite inferior constante (0) no aporta nada; si fuera una funcion, restarias termino analogo.

Problema 4. Halla el area encerrada entre la parabola y = x^2 y la recta y = x + 2.

Solucion paso a paso

Puntos de corte: x^2 = x + 2 → x^2 − x − 2 = 0 → (x − 2)(x + 1) = 0 → x = −1 y x = 2.
Cual queda arriba dentro del intervalo? Prueba x = 0: recta vale 2, parabola vale 0: la recta arriba. Area = ∫ (−1 a 2) [(x + 2) − x^2] dx.
Primitiva: x^2/2 + 2x − x^3/3.
Evalua en 2: 2 + 4 − 8/3 = 10/3. Evalua en −1: 1/2 − 2 + 1/3 = −7/6.
Area = 10/3 − (−7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 4.5 unidades cuadradas.

Problema 5. Halla el valor medio de f(x) = x^2 en [0, 3] y un punto donde la funcion alcanza ese valor medio.

Solucion paso a paso

Formula del valor medio: (1/(b−a)) ∫ₐᵇ f. Aqui: (1/3) ∫₀³ x^2 dx.
∫₀³ x^2 dx = x^3/3 evaluado de 0 a 3 = 27/3 = 9.
Valor medio = 9/3 = 3. Geometricamente: el rectangulo de base 3 y altura 3 tiene la misma area que la bajo la curva.
Donde x^2 = 3? En x = √3 ≈ 1.732, que cae dentro de [0, 3]: eso garantiza el teorema medio para funciones continuas.

Bloque 3 · Impropias, volumenes y ecuaciones

Problema 6. Decide si converge ∫₁^∞ 1/x^2 dx y calcula su valor; comparemos con ∫₁^∞ 1/x dx.

Solucion paso a paso

Integral impropia = limite: ∫₁^R x^(−2) dx con R → +∞.
Primitiva: −1/x. Evaluada de 1 a R: (−1/R) − (−1) = 1 − 1/R.
Limite R → ∞: 1 − 0 = 1. Converge a 1, a pesar de sumar una cola infinita.
Contraste: ∫₁^∞ 1/x dx = ln(R) → +∞ diverge. Criterio p: ∫₁^∞ 1/x^p converge si y solo si p mayor que 1. La cola de 1/x^2 se aprieta lo bastante para sumar finito.

Conexion con datos Las colas de las distribuciones de probabilidad viven de esto: una densidad puede extenderse al infinito solo si su cola integra 1 (como x^(−2)). Las distribuciones de cola pesada (Pareto en ingresos o tamano de archivos) convergen apenas: por eso la media puede no existir.

Problema 7. La region entre y = x y el eje X en [0, 1] gira alrededor del eje X. Halla el volumen del solido (metodo del disco).

Solucion paso a paso

Al girar, cada x genera un disco de radio r(x) = x y grosor dx: volumen del disco = π·r^2 dx.
Integral: V = π ∫₀¹ x^2 dx.
∫₀¹ x^2 dx = 1/3. Volumen V = π/3 ≈ 1.047.
Sentido: un cono de radio 1 y altura 1 ocupa π·1^2·1/3 = π/3: coincide, porque el disco de y=x ES un cono.

Problema 8. Resuelve la ecuacion diferencial dy/dx = 3x^2 con condicion inicial y(0) = 1.

Solucion paso a paso

Integra ambos lados: y = ∫ 3x^2 dx = x^3 + C.
La condicion inicial fija C: y(0) = 0 + C = 1 → C = 1.
Solucion: y = x^3 + 1. Una derivada conocida + un punto = funcion recuperada; es exactamente lo que hace el descenso de gradiente al acumular actualizaciones.

Mapa de estrategias

Que tecnica de integracion uso

Autoexamen cronometrado (20 minutos)

Resuelve en papel sin mirar arriba y luego responde aqui. Con 5 de 6 apruebas el bloque.

Calcula la integral definida ∫₀² 3x^2 dx.

¿Cual es la primitiva de cos(x)?

La integral impropia ∫₁^∞ 1/x dx converge.

Halla el area entre y = x y y = x^2 en [0, 1] (entre curvas, no bajo una).

En integracion por partes, la formula es ∫ u dv = uv − ∫ du.

Empareja cada integral con la tecnica que le corresponde.

Video de repaso

Para profundizar

Khan Academy: Calculo integral
Ejercicios graduados con retroalimentacion inmediata.

LibreTexts: Calculus (abierto y gratuito)
Capitulo 5 y 6 completos con soluciones selectas.

El problema 6 explica por que existe la media de una normal pero no la de ciertas Pareto de colas muy pesadas: busca un dataset real de ingresos o tamanos de fichero y comprueba si su cola "integra". ¿Que le pasa a la media muestral cuando la teorica no existe?