Relaciones y sus propiedades
Mapa conceptual
Cuatro propiedades que hay que saber reconocer sin dudar:
| Propiedad | Se cumple si… | Ejemplo típico |
|---|---|---|
| Reflexiva | todo a se relaciona consigo mismo (a R a) | «igual a», «subconjunto de» |
| Simétrica | si a R b entonces b R a | «ser hermano de», «amigo en una red» |
| Antisimétrica | si a R b y b R a, entonces a = b | «menor o igual», «jerarquía» |
| Transitiva | si a R b y b R c, entonces a R c | «ancestral», «divisibilidad» |
Las dos familias importantes
- Relación de equivalencia: reflexiva + simétrica + transitiva. Parte el conjunto en clases de equivalencia disjuntas (agrupa sin solapar). Ejemplo: «tener la misma paridad», «ser congruente módulo n». Es la operación que agrupa registros en categorías.
- Relación de orden (parcial): reflexiva + antisimétrica + transitiva. Ordena sin exigir que todo sea comparable. Ejemplo: «≤» en los números, «subconjunto de», «es predecesor de» en un grafo de dependencias.
Clases de equivalencia
Dada una equivalencia, la clase de un elemento a es el conjunto de todos los que se le relacionan. Dos clases o son idénticas o no comparten elementos, y su unión reconstruye todo el conjunto: eso es una partición. Agrupar clientes por país, o números por su resto módulo 5, son clases de equivalencia.
[Dos relaciones distintas sobre los mismos números]
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La relación «ser congruente módulo 5» (a ≡ b si 5 divide a a − b) es…
«≥» sobre los enteros es una relación de equivalencia.
Clasifica cada relación según la familia que forma.
Equivalencia
Orden parcial
Ninguna
Errores al clasificar
- Olvidar la reflexividad: «menor estricto» ( ) es transitiva pero NO reflexiva, así que no es orden parcial (es orden estricto).
- Confundir antisimetría con simetría: antisimétrica no prohíbe a R b, exige que si también b R a entonces eran el mismo elemento.
- Suponer que todo orden es total: en ⊆ puede haber conjuntos incomparables (ni A⊆B ni B⊆A).
Ejemplo resuelto
- Decide si «R» definida por a R b si a y b tienen el mismo signo (sobre ℝ0).
- Reflexiva: todo número tiene su mismo signo. Sí.
- Simétrica: si a y b coinciden en signo, b y a también. Sí.
- Transitiva: si a y b y c coinciden dos a dos, todos comparten signo. Sí.
- Es de equivalencia: particiona en dos clases, «positivos» y «negativos».
Las relaciones de equivalencia son el «group by» de los datos: toda agrupación en categorías disjuntas (por país, por rango, por cluster) es una partición inducida por una equivalencia. Y los órdenes parciales gobiernan la programación de tareas y los grafos de dependencias: saber qué va antes que qué, sin exigir un único orden lineal.
Propiedades y familias
Relaciones (repaso formal)
Propiedades, relaciones de equivalencia y de orden con particiones.
Sobre el conjunto de los estudiantes de un curso, define una relación de equivalencia útil (por ejemplo, «comparten carrera») y describe sus clases. Luego define una relación de orden parcial y explica por qué NO es una equivalencia.
MIT OCW 6.042J
Matematicas para Ciencias de la Computacion (MIT OpenCourseWare).