Asimetría y curtosis

Los momentos de una distribución

Centro, dispersión, asimetría y curtosis son los primeros momentos: medias ponderadas de las desviaciones elevadas a potencias creciente. El primero es la media, el segundo la varianza, el tercero gobierna la asimetría y el cuarto la curtosis. Es una jerarquía de detalles de forma.

Momentos centrados y estandarizados

Para que la asimetría y la curtosis no dependan de la escala, se usan momentos centrados en la media y divididos por una potencia de la desviación típica. Así se obtienen índices adimensionales comparables entre variables.

Asimetría (sesgo)

El coeficiente de asimetría mide la inclinación. Cero indica simetría. Positivo, una cola larga a la derecha (pocos valores enormes estiran la media por encima de la mediana). Negativo, cola larga a la izquierda.

Media, mediana y sesgo

En distribuciones unimodales, el sesgo desplaza media y mediana en direcciones predecibles: con sesgo positivo la media supera a la mediana; con negativo, queda por debajo. La distancia entre ambas es un diagnóstico rápido del sesgo.

Curtosis

La curtosis mide cuánto se concentran los datos en las colas respecto a la normal. Se toma la normal como referencia; las distribuciones con cola más gruesa tienen curtosis alta, y las de cola fina y cuerpo más plano, baja.

Colas pesadas

Una curtosis alta avisa de extremos frecuentes: eventos raros pero enormes que aparecen más de lo que la normal prometería. En finanzas y redes, el comportamiento crítico vive en esas colas: no es un detalle, es el riesgo.

Por qué importan en la práctica

• El sesgo fuerte hace que la media engañe: mejor la mediana.
• La curtosis alta rompe supuestos de modelos que asumen normalidad.
• Ambos condicionan intervalos de confianza y pruebas basadas en la normal.
• Ignorarlos lleva a subestimar la probabilidad de extremos.

Simetría y la regla empírica

Las cotas empíricas de desviaciones típicas suponen forma aproximadamente normal. Con asimetría o curtosis marcadas, el porcentaje real dentro de una o dos desviaciones se desvía de las promesas. Verificar la forma antes de aplicarlas.

Estimar desde la muestra

El coeficiente muestral de asimetría y curtosis se calcula con los momentos de los datos, pero es ruidoso en muestras pequeñas: conviene mirar también el histograma y el diagrama de caja, no fiarse del número suelto.

1. Traza histograma y boxplot para ver la forma antes de calcular.
2. Estima la asimetría: compara media y mediana y observa la inclinación.
3. Estima la curtosis: mira el grosor de las colas.
4. Decide con ello qué resumen (media o mediana) y qué modelo convienen.

Transformar para enderezar

Ante un sesgo marcado, aplicar un logaritmo o una raíz puede simetrizar la variable y estabilizar su varianza, acercándola a los supuestos de muchos métodos. La elección de transformación depende del signo y la fuerza del sesgo.

Curtosis y riesgo

Modelar con normal una variable de curtosis alta subestima drásticamente la probabilidad de eventos extremos. Las pérdidas grandes, las tormentas y los picos de tráfico son «raros» bajo la normal y frecuentes en la realidad.

Errores frecuentes

• Concluir simetría por tener media igual a la mediana (puede ser coincidencia en distribuciones raras).
• Aplicar reglas basadas en la normal sin comprobar asimetría y curtosis.
• Interpretar la curtosis como «alto en el centro» sin mirar las colas.

Lectura visual rápida

El Q-Q plot que verá la lección siguiente es la mejor prueba visual de la forma: desviaciones de la recta en un extremo revelan sesgo, y curvatura en ambos extremos, curtosis. Aprender a leerlo completa estos coeficientes.

Seeing Theory
Exploración de la forma de las distribuciones.