Cuadernillo de problemas resueltos: inferencia y contrastes
Construir intervalos de confianza z y t, ejecutar contrastes de media y proporcion, dimensionar experimentos y leer p-valores sin enganarse.
Cuadernillo de problemas resueltos: de la muestra a la conclusion
La inferencia es el arte de admitir cuanto no sabes. Este cuadernillo resuelve de principio a fin las cuentas que sostienen un experimento A/B, un informe de encuesta o una validacion de modelo: error estandar, intervalos de confianza con z y con t, contrastes de media y de proporcion, tamano muestral y el puente entre intervalo e hipotesis. Cada paso esta calculado para que lo reproduzcas con papel y una tabla.
Inferir es cuantificar la suerte: el error estandar dice cuanto baila tu media si repites el experimento.
Como usar este cuadernillo Siete problemas resueltos cubren distribucion muestral, IC z, IC t, test de proporcion, test t dos muestras, calculo de n y dualidad IC-contraste. Las tablas criticas usadas: z 95% = 1.96, t(8) 90% = 1.860, t(8) 95% = 2.306.
Bloque 1 · Cuanto baila la media
Problema 1. La poblacion tiene σ = 15. Tomas n = 25. ¿Cual es el error estandar de la media? ¿Que abanico de valores "normales" te da para x̄ = 100?
Solucion paso a paso
Regla raiz: SE = σ/√n = 15/√25 = 15/5 = 3. Cuadruplicar la muestra solo divide el error por 2.
Por el teorema central del limite, x̄ cae aproximadamente 100 ± 2·3 = (94, 106) en el 95% de las muestras.
Lectura: el "±2 SE" es el atajo del 95%: con el 68% dentro de 1 SE y 99.7% dentro de 3. Guarda estos tres numeros: se usan todo el tiempo.
Problema 2. x̄ = 52, σ = 10 (conocida), n = 100. Construye el IC 95% de la media poblacional.
Interpretacion frecuentista correcta: repitiendo el procedimiento infinitas veces, el 95% de los intervalos generados capturarian μ. NO digas "hay 95% de probabilidad de que μ este en ESTE intervalo": μ es fijo, el azar estaba en la muestra.
Problema 3. No conoces σ: una muestra de n = 9 da x̄ = 100 y s = 3. IC al 90%.
Solucion paso a paso
σ desconocida y muestra pequena: usa t de Student con gl = n − 1 = 8.
SE = s/√n = 3/3 = 1. Critico t(8) para 90% a dos colas: 1.860.
IC = 100 ± 1.86 = (98.14, 101.86). Compara con z que habria dado 1.645: la t es mas ancha porque s mismo es incierto.
Con gl grandes t converge a z: a partir de 30 muchos informes usan z sin drama; en rigor, si estimas s de los datos, es t.
Bloque 2 · Contrastes
Problema 4. Una moneda se lanza 100 veces: 58 caras. Contrasta H0: p = 0.5 frente a "favorece caras" con α = 0.05.
Solucion paso a paso
Estadistico: p̂ = 0.58. Bajo H0, SE = √(p0(1−p0)/n) = √(0.25/100) = 0.05. Ojo: el SE del CONTRASTE usa p0, no p̂.
z = (0.58 − 0.50)/0.05 = 1.6.
p-valor (una cola) = P(Z mayor que 1.6) = 1 − 0.9452 = 0.0548.
Decision: 0.0548 mayor que 0.05 → NO rechazamos; con hipotesis dos colas p = 0.1096, todavia peor. Conclusion honesta: pista debil, faltan lanzamientos. Un p cercano a 0.05 no es "casi significativo", es no significativo a tu α declarada.
La trampa del buscador Si despues de ver p = 0.0548 cambias α a 0.10, estás haciendo p-hacking: el α se fija ANTES de mirar los datos. En producción de modelos esto se disfraza de "probar varias metricas hasta que alguna suba": corrige por comparaciones multiples (Bonferroni) o congela la metrica prima.
Problema 5. Versión A de una app retiene {48, 55, 52, 49, 56} usuarios activos; versión B {42, 44, 50, 46, 48}. Test t de dos muestras, α = 0.05.
Solucion paso a paso
Medias: A = 260/5 = 52; B = 230/5 = 46. Diferencia observada: 6.
t = 6/2.121 = 2.83 con gl = 8. La tabla t(8) marca 2.306 para el 5% y 2.896 para el 2% a dos colas: p cae entre 0.02 y 0.05 (valor exacto ≈ 0.022).
Rechazamos H0: A retiene mas que B con evidencia significativa. Reporte profesional: "diferencia 6.0, IC 95% (1.1, 10.9), t(8) = 2.83, p = 0.022" — los cuatro numeros, no solo la estrella.
Bloque 3 · Diseño y dualidades
Problema 6. Quieres detectar una mejora media de 3 puntos con σ = 10, α = 0.05 dos colas y potencia 80%. ¿Cuantas unidades por brazo?
Solucion paso a paso
Logica del calculo: hay que separar las dos hipotesis 1.96 errores estandar bajo H0 mas 0.842 bajo H1; por eso el factor (z_(α/2) + z_β)^2 = (1.96 + 0.842)^2 = 7.85 manda en la formula.
Para un contraste simple de una media con σ por observacion: n = 7.85 · (σ/δ)^2 = 7.85 · (10/3)^2 = 7.85 · 11.11 = 87.2 → n = 88.
Para comparar DOS medias independientes la cuenta se duplica por brazo: n = 2·7.85·100/9 = 174.5 → 175 por brazo. Regla practica: dos brazos cuestan el doble que uno.
Lectura economica: detectar efectos pequenos cuesta CARISIMO porque δ va al cuadrado en el denominador: un efecto de 6 puntos habria necesitado n ≈ 22 (una media), cuatro veces menos. Prioriza experimentos con efecto grande y real.
Problema 7. Del problema 5, construye el IC 95% de la diferencia y comprueba la dualidad con el contraste.
El intervalo NO contiene el 0: la dualidad dice que el contraste a α = 0.05 (dos colas) debe rechazar. Y rechazamos: coherencia perfecta.
Regla memorizable: IC que roza el 0 (p cercano a 0.05), IC dentro (no rechazas), IC lejos (efecto ademas de significativo puede ser irrelevante: mira la magnitud, no la estrella).
El problema 4 acabo en "no rechazamos" con p = 0.0548. En un A/B real con n predimensionado, ¿que habria hecho tu equipo: lanzar, duplicar muestra o matar la idea? Escribe tu politica de decision ANTES de repetir el experimento.
