Vectores y operaciones
Mapa conceptual
¿Qué es un vector?
Un vector es una sucesión ordenada de números. Vista como lista, guarda componentes: v con entradas 3 y 4. Vista geométrica, es una flecha que sale del origen y llega a ese punto del plano. Ambas lecturas son útiles: la aritmética por un lado, la dirección y la longitud por otro.
Suma de vectores
Sumar dos vectores es sumar componente a componente. Geométricamente, es aplicar un desplazamiento tras otro: la regla del paralelogramo. El vector resultante va del origen a la esquina opuesta. Conectar la suma con «moverse en dos pasos» fija la intuición.
Producto escalar
Multiplicar un vector por un número (un escalar) estira o encoge su longitud sin cambiar de dirección; si el escalar es negativo, lo invierte. Escalar es la operación de «cuánto de este vector quiero».
Combinación lineal
Una combinación lineal es sumar vectores tras escalarlos cada uno con un peso: 2 por u más menos 1 por v. Es la operación central del álgebra lineal. Casi todo lo que sigue —espacios, rangos, modelos— se explica como «qué vectores se pueden formar combinando linealmente otros».
Vectores como datos
Un registro con varios atributos es un vector: edad, ingreso, gasto forman un punto en un espacio de tres dimensiones. Un dataset con n filas y m columnas es simplemente n vectores de dimensión m. Toda la geometría de datos arranca aquí.
| Operación | Cómo se hace | Lectura geométrica |
|---|---|---|
| Suma | componente a componente | desplazamiento sucesivo |
| Escalar | multiplicar cada componente | estirar o encoger |
| Combinación lineal | escalar y sumar | red de puntos alcanzables |
| Opuesto | multiplicar por menos 1 | invertir la flecha |
Si u = (1, 2) y v = (3, 0), ¿cuál es 2 por u más v?
Longitud de un vector
La norma o longitud de un vector generaliza la hipotenusa: raíz de la suma de cuadrados de sus componentes. Mide «cuánto vector» hay. Un vector de longitud uno se llama unitario, y normalizar es dividir por la norma para quedarte solo con la dirección.
Dirección frente a magnitud
Dos vectores pueden apuntar igual y tener distinta longitud (uno es múltiplo positivo del otro), o tener igual longitud y direcciones opuestas. Separar «hacia dónde» de «cuánto» ayuda a pensar en proyecciones y similitudes entre datos.
El vector cero
El vector nulo, todas sus componentes cero, es el origen: sumarlo no mueve nada y escalarlo lo deja en cero. Es el elemento neutro de la suma, el análogo algebraico del número cero, y el punto de partida de toda flecha.
Notación de dimensión
Un vector de r componentes pertenece al espacio R a la r. Un vector de datos con cien atributos vive en R a la cien, imposible de visualizar pero manejable con las mismas reglas. La intuición de 2D y 3D se generaliza sin fricción.
Errores frecuentes
- Sumar vectores de dimensiones distintas (no están alineados).
- Confundir el producto escalar entre dos vectores con escalar uno por un número.
- Olvidar que escalar por un negativo invierte la dirección, no solo cambia el tamaño.
Una combinación lineal de dos vectores siempre es un vector que está en el plano generado por ambos.
Álgebra vectorial en código
En NumPy, un vector es un array de una dimensión: sumar, escalar y combinar son operaciones con los operadores habituales. La notación matemática y el código se parecen asombrosamente; por eso el álgebra lineal es tan natural de programar en Python.
Asigna cada operación a su efecto:
Suma
Escalar
Normalizar
Opuesto
Toma dos datos tuyos habituales (dos clientes con los mismos atributos). Trátalos como vectores: describe qué significaría sumarlos y escalar uno por 0,5. ¿Tienen sentido esas operaciones en tu contexto?
3Blue1Brown: Linear Algebra
Serie Essence of Linear Algebra con intuicion geometrica.