Dependencia e independencia lineal
Mapa conceptual
Combinación lineal otra vez
Decir que un vector es combinación lineal de otros significa que se puede fabricar escalando y sumando aquellos. Si w = 2 por u menos v, entonces w no añade nada: vive donde u y v ya alcanzan. Esa idea es toda la lección en una frase.
Definición de independencia
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si la única manera de combinarlos para dar el vector nulo es poniendo todos los pesos a cero. En cuanto aparece una combinación no trivial que anula el resultado, los vectores son dependientes.
Dependencia: algo sobra
Son dependientes si algún vector se puede escribir como combinación del resto. Ese vector es redundante: sobraba para describir el espacio. Quitarlo no cambia los puntos que se pueden alcanzar.
Interpretación geométrica
- Dos vectores dependientes: están sobre la misma recta (uno es múltiplo del otro).
- Tres vectores dependientes en 3D: los tres caen en el mismo plano.
- Independientes: cada uno abre una dirección nueva que los anteriores no cubrían.
El span
El span de un conjunto de vectores es el conjunto de TODAS sus combinaciones lineales: el espacio que «abarcan». Un vector está en el span de otros si se puede fabricar con ellos. Independencia significa que ningún vector cae ya en el span de los anteriores.
Cómo comprobarlo
Se colocan los vectores como columnas de una matriz y se resuelve si el sistema homogéneo tiene solo la solución trivial. Si hay soluciones no nulas, hay dependencia. En la práctica, reducir la matriz o mirar su rango responde la pregunta de un vistazo.
| Situación | Veredicto | Por qué |
|---|---|---|
| Ningún vector es combinación de los otros | Independientes | cada uno abre dirección nueva |
| Algún vector sí es combinación de los demás | Dependientes | hay redundancia |
| Un vector es cero | Dependientes | el cero siempre sobra |
| Más vectores que dimensiones | Dependientes | no caben tantas direcciones |
Si un vector w puede escribirse como combinación lineal de u y v, ¿qué se puede afirmar?
En datos: columnas correlacionadas
Dos atributos perfectamente correlacionados (peso en kilos y en libras) son columnas dependientes: una reconstruye a la otra. Guardar ambas es redundancia, y muchos modelos se degradan con redundancia extrema. La independencia lineal mide cuánta información real aporta cada columna.
Base mínima
De cualquier conjunto se puede extraer una versión sin redundancia: quitar los vectores dependientes hasta que los que queden sean independientes. Esos que permanecen describen el mismo span con el mínimo número de piezas. Es el germen del concepto de base.
Más vectores que dimensiones
En R a la n no puede haber más de n vectores independientes: cada uno exige una dirección y solo hay n. Cinco vectores en el plano (R a la 2) son necesariamente dependientes. Este «techo» dimensional es muy usado para razonar.
Errores frecuentes
- Pensar que «independiente» significa vectores lejanos, cuando es cuestión de direcciones.
- Olvidar que la presencia del vector nulo ya hace dependiente al conjunto.
- Confundir independencia estadística (de variables aleatorias) con independencia lineal.
Tres vectores en el espacio R a la 2 son siempre linealmente dependientes.
Rango como contador de independientes
El máximo número de vectores independientes que se pueden elegir de un conjunto (o de las columnas de una matriz) es su rango. El rango cuenta cuántas direcciones «reales» hay. Lo retendrás cuando hablemos de matrices.
Clasifica cada conjunto de vectores:
Independiente
Dependiente
Piensa en dos atributos de un dataset real que sean «el mismo dato en otra unidad». Explica por qué sus columnas son linealmente dependientes y qué ganarías al quitar una.
3Blue1Brown: Linear Algebra
Serie Essence of Linear Algebra con intuicion geometrica.