Matrices y operaciones
Mapa conceptual
¿Qué es una matriz?
Una matriz es un arreglo rectangular de números organizado en filas y columnas. Su tamaño se describe como m por n: m filas, n columnas. Un vector no es más que una matriz de una columna; un escalar, una matriz 1 por 1. La matriz generaliza todo lo anterior.
Filas y columnas
Las filas son vectores horizontales; las columnas, verticales. Una matriz puede leerse como lista de filas o como lista de columnas, y según qué lectura elijas entenderás cosas distintas: en datos, las filas suelen ser observaciones y las columnas, características.
Suma de matrices
Dos matrices del mismo tamaño se suman elemento a elemento: se suman las casillas que ocupan la misma posición. La resta funciona igual. No se pueden sumar matrices de tamaños distintos: las rejillas no encajan.
Escalar una matriz
Multiplicar una matriz por un número escala cada una de sus entradas por ese valor. Es la operación más simple y obedece todas las reglas que esperarías: distribuye, asocia y deja todo igual al multiplicar por uno.
Transpuesta
La transpuesta de una matriz intercambia filas por columnas: lo que era fila se vuelve columna. Se nota con una T. Es una operación barata pero constante en datos (pasar de «muestras por rasgos» a «rasgos por muestras») y esencial al calcular productos como A transpuesta por A.
Tipos especiales
- Cuadrada: igual número de filas y columnas; sobre ella se definen inversa y determinante.
- Identidad: la matriz cuadrada con unos en la diagonal y ceros fuera; actúa como el 1 de la multiplicación.
- Diagonal: solo la diagonal tiene valores; es un escalamiento independiente por eje.
| Objeto | Forma | Papel |
|---|---|---|
| Escalar | 1 por 1 | un número |
| Vector | n por 1 | un dato o una dirección |
| Matriz | m por n | datos o transformación |
| Identidad | n por n | no hacer nada al multiplicar |
¿Cuándo se pueden sumar dos matrices A y B elemento a elemento?
Por qué importan las dimensiones
Casi todos los errores de principiante en álgebra lineal son de tamaño: intentar una operación cuyas dimensiones no cuadran. Acostumbrarse a anotar «m por n» antes de cada operación previene la mayor parte de los fallos, sobre todo al encadenar productos.
Matrices como datos
Una imagen en escala de grises es una matriz de brillo; un dataset, una matriz de rasgos. Toda la información está en las casillas. Manipular la matriz es manipular directamente el objeto que representa.
Elemento (i, j)
Una entrada se identifica por su fila y su columna. Escribir A con i, j significa la casilla en la fila i y columna j. Este índice preciso evita ambigüedades al describir operaciones y, en NumPy, se traduce directamente a A[i, j].
Ceros y unos
La matriz de ceros es el neutro de la suma: sumarla no cambia nada. La identidad lo es de la multiplicación. Tener claros estos dos «ceros y unos» matriciales da el esqueleto del álgebra de matrices.
Errores frecuentes
- Sumar o restar matrices de formas distintas.
- Confundir la transpuesta (intercambiar ejes) con invertir (operación de multiplicación).
- Asumir que toda matriz cuadrada es la identidad por tener ceros fuera de la diagonal.
Transponer una matriz convierte sus filas en columnas y sus columnas en filas.
Matrices en NumPy
En NumPy una matriz es un array de dos dimensiones. Sumar, escalar y transponer (con A.T) son operaciones directas, y verificar shape te protege de los errores de dimensiones. Es el lienzo sobre el que se dibujan después las operaciones más interesantes.
Asigna cada objeto a su descripción:
Vector
Matriz
Identidad
Transpuesta
Elige un objeto con datos tabulares (una imagen pequeña, una tabla de notas). Descríbelo como una matriz m por n, di qué son sus filas y sus columnas y qué significaría transponerla.
3Blue1Brown: Linear Algebra
Serie Essence of Linear Algebra con intuicion geometrica.