Rango, núcleo e imagen
Mapa conceptual
Idea general
Dada una matriz A, pensamos en ella como la transformación que lleva x a A por x. Tres objetos describen su conducta: el rango (cuántas dimensiones conserva), el núcleo (qué vectores se envían al cero) y la imagen (qué vectores de salida son alcanzables). Son subespacios con una contabilidad exacta.
Imagen (recorrido)
La imagen de A es el conjunto de todos los resultados A por x al variar x: el «rango de salida». Es el span de las columnas de A. Si una matriz representa datos, la imagen es el espacio que esas columnas abarcan: qué vectores se pueden expresar como combinación de ellas.
Rango
El rango es la dimensión de la imagen: cuántas columnas (o filas) son linealmente independientes. Mide el número de direcciones «reales» que la matriz alcanza. Rango completo significa que no desperdicia dimensiones; rango deficiente indica redundancia entre columnas.
Núcleo (kernel)
El núcleo es el conjunto de vectores x que cumplen A por x igual a cero: todo lo que la transformación «aplasta» contra el origen. Si solo contiene el vector cero, la transformación es inyectiva. Un núcleo con más vectores señala grados de libertad que se pierden.
Teorema rango-nulidad
Para una matriz con n columnas: rango más nulidad igual n. La nulidad es la dimensión del núcleo. Toda dimensión de entrada o sobrevive produciendo imagen (rango) o se envía al cero (núcleo). Es una ley de conservación de la información dimensional.
Cómo se calcula el rango
Reduces la matriz a forma escalonada por filas y cuentas los pivotes: ese número es el rango. Núcleo e imagen quedan a la vista en la matriz escalonada: los pivotes dan la base de la imagen, las variables libres generan el núcleo.
| Objeto | Se define como | Qué revela |
|---|---|---|
| Imagen | conjunto de salidas A por x | hasta dónde puede llegar |
| Rango | dimensión de la imagen | cuántas direcciones útiles hay |
| Núcleo | vectores con A por x igual 0 | qué se aplasta al cero |
| Nulidad | dimensión del núcleo | cuántos grados se pierden |
Una matriz de 5 columnas tiene rango 3. ¿Cuál es la dimensión de su núcleo, por el teorema rango-nulidad?
Núcleo trivial e inyectividad
Si el núcleo contiene únicamente el vector cero, distintas entradas dan distintas salidas: la transformación es inyectiva y no aplasta nada. En cuadradas, esto equivale a tener rango completo e inversa. Un núcleo no trivial delata múltiples entradas con la misma salida.
Imagen como span de columnas
Resolver A por x igual b pregunta si b está en la imagen de A. Si lo está, el sistema tiene solución; si no, es incompatible. El rango y la imagen traducen así preguntas de «¿existe solución?» a geometría: ¿cae b dentro del espacio que cubren las columnas?
Rango en datos
En una matriz de datos, el rango cuenta cuántas características son realmente informativas (independientes). Un rango menor que el número de columnas revela redundancia exacta: hay atributos reconstructibles con otros, como coordenadas que dependen unas de otras.
Reducir rango a propósito
Técnicas como PCA buscan una versión de rango bajo que capture la mayor variación: «¿cuántas dimensiones necesito de verdad?». Ver el rango como información esencial explica por qué se puede comprimir un dataset sin perder casi nada.
Errores frecuentes
- Confundir el rango (independientes) con el número de filas o columnas a secas.
- Olvidar que el núcleo vive en el espacio de entrada y la imagen en el de salida.
- Aplicar rango más nulidad igual n con n mal elegido (columnas, no filas).
El núcleo de una transformación lineal siempre contiene al menos el vector cero.
Base de cada espacio
Tanto imagen como núcleo son subespacios y, como tales, tienen bases. Obtenerlas (desde la escalonada) es tan valioso como conocer su dimensión: son los vectores que, combinados, generan todo lo alcanzable o todo lo anulado.
Asigna cada cantidad a la pregunta que responde:
Rango
Nulidad
Imagen
Nucleo
Una transformación proyecta el espacio 3D al plano xy (z igual 0). Describe su imagen, su núcleo, su rango y su nulidad, y verifica el teorema rango-nulidad.
3Blue1Brown: Linear Algebra
Serie Essence of Linear Algebra con intuicion geometrica.