Producto punto, norma y ortogonalidad
Mapa conceptual
Producto punto
El producto punto de dos vectores del mismo tamaño es la suma de los productos de sus componentes alineadas. Da un número (un escalar), no un vector. Si los vectores son perpendiculares, ese número es cero; si apuntan igual y son unitarios, vale uno.
Interpretación geométrica
El producto punto de u y v es la longitud de u por la de v por el coseno del ángulo entre ambos. Lees dos cosas: la longitud de cada uno y cuánto se alinean. Por eso mide similitud entre datos: dos clientes con perfiles parecidos dan un producto punto alto.
Norma (longitud)
La norma de un vector es la raíz de su producto punto consigo misma: la longitud euclídea de toda la vida, generalizada a cualquier dimensión. Al restar dos vectores y tomar su norma, obtienes la distancia entre los puntos que representan.
Ángulo entre vectores
Despejando el coseno de la fórmula del producto punto, se obtiene el ángulo entre dos vectores. Esto permite medir «dirección» sin coordenadas: vectores con ángulo pequeño son similares en orientación, aunque sus longitudes difieran.
Ortogonalidad
Dos vectores son ortogonales (perpendiculares) si y solo si su producto punto es cero. Es un criterio exacto y baratísimo de comprobar, y funciona en cualquier dimensión, incluso donde no podemos «ver» el ángulo recto.
Vectores y subespacios ortogonales
Un vector es ortogonal a un subespacio si lo es a todos sus vectores. Dos subespacios son ortogonales cuando cada vector de uno es perpendicular a cada vector del otro. El núcleo y la imagen de una matriz resultan ser ortogonales: una conexión profunda.
Proyección
Proyectar un vector u sobre otro v es hallar la «sombra» de u en la dirección de v: la mejor aproximación de u usando solo v. Se calcula con producto punto y una división por la norma de v al cuadrado. Es la pieza clave de mínimos cuadrados.
Descomposición ortogonal
Cualquier vector se puede separar en una parte que va en la dirección de v (la proyección) y otra perpendicular a ella. La primera captura lo aprovechable de v; la segunda es el residuo. Esta idea de «componente útil más error» recorre toda la estadística.
| Magnitud | Se obtiene | Para qué sirve |
|---|---|---|
| Producto punto | suma de productos de componentes | similitud y ortogonalidad |
| Norma | raíz del producto punto consigo mismo | longitud y distancia |
| Coseno | producto punto entre producto de normas | ángulo entre vectores |
| Proyección | producto punto y escala sobre v | mejor aproximación en una dirección |
¿Qué significa que el producto punto de dos vectores no nulos sea cero?
Base ortogonal y ortonormal
Una base cuyas direcciones son perpendiculares entre sí facilita todo: las coordenadas se leen independientemente, proyecto sobre cada eje sin contaminar los demás. Si además cada vector tiene longitud uno (ortonormal), las fórmulas se simplifican al máximo.
Similaridad en datos
En recomendadores y búsqueda, la «distancia» entre dos vectores de características es un producto punto normalizado: similitud del coseno. Perfiles orientados igual se parecen, aunque uno sea más «intenso». Geometría pura aplicada al gusto de un usuario.
Gram-Schmidt
Dada una base cualquiera, el proceso de Gram-Schmidt construye una base ortogonal del mismo espacio restando a cada vector sus componentes previas. Es el método práctico para ortonormalizar y está detrás de descomposiciones numéricas importantes.
Errores frecuentes
- Esperar que el producto punto devuelva un vector (devuelve un escalar).
- Olvidar normalizar antes de comparar ángulos entre vectores de distinta longitud.
- Creer que producto punto grande implica paralelismo sin considerar las normas.
Dos vectores unitarios con producto punto igual a uno son necesariamente el mismo vector.
Normalizar
Dividir un vector por su norma deja una versión de longitud uno que solo conserva la dirección. Normalizar convierte el producto punto en puro coseno de similitud: el paso que hace comparables vectores de escalas distintas.
Asigna cada cálculo a su resultado:
Escalar
Longitud
Cero
Vector
Dos usuarios tienen perfiles v = (3, 4) y w = (4, 3). Calcula su producto punto y decide si son ortogonales. Si los normalizas, ¿apuntan en la misma dirección? Interpreta el resultado.
3Blue1Brown: Linear Algebra
Serie Essence of Linear Algebra con intuicion geometrica.