Autovalores y autovectores
Mapa conceptual
La idea geométrica
Aplica una matriz A a un vector y en general el resultado cambia de dirección. Pero existen vectores particulares v cuya imagen A por v es simplemente v estirado por un factor lambda, sin girar. Esos v son autovectores y lambda, su autovalor: cuánto se estiran (o encogen, o invierten).
La ecuación
La condición se escribe A por v igual a lambda por v, con v no nulo. Buscamos, pues, vectores que cumplan que la acción de la matriz equivale a escalarlos. Esa simple ecuación esconde toda la estructura de la transformación.
Autovalores: el espectro
Para una matriz de tamaño n hay n autovalores (contando repeticiones y permitiendo complejos). Forman el «espectro» de la matriz y resumen sus efectos: cuánto amplifica o atenúa a lo largo del tiempo, si converge o diverge.
Cómo se calculan
- Reescribe la ecuación como (A menos lambda por I) por v igual cero.
- Para que tenga solución no nula, el determinante de A menos lambda por I debe ser cero.
- Ese determinante es un polinomio en lambda (característico); sus raíces son los autovalores.
- Para cada autovalor, resuelve el sistema y obtén sus autovectores (el núcleo).
El polinomio característico
Det(A menos lambda I) es un polinomio cuya grado es n. Sus raíces dan los autovalores. Para 2 por 2 queda una cuadrática que se resuelve a mano; en general se usa cálculo numérico, pero la idea es la misma: hallar los lambda que hacen la matriz singular.
Espacio propio
Los autovectores de un mismo autovalor, junto con el cero, forman el espacio propio: todas las direcciones que ese autovalor estira por igual. Un autovalor puede arrastrar varios autovectores independientes (autovectores), y el número de ellos es su multiplicidad geométrica.
Significado de los valores
- Autovalor mayor que 1: esa dirección se amplifica.
- Entre 0 y 1: se atenúa (se encoge hacia el origen).
- Negativo: además de escalar, invierte el sentido en cada aplicación.
- Cero: la dirección se aplasta; conecta con matrices singulares.
| Concepto | Qué es | Cómo se ve |
|---|---|---|
| Autovector v | dirección que no gira | A por v igual lambda por v |
| Autovalor lambda | factor de escala de esa dirección | raíz del característico |
| Espacio propio | conjunto de autovectores de un lambda | núcleo de A menos lambda I |
| Espectro | lista de todos los autovalores | n valores (con repeticiones) |
Si v es autovector de A con autovalor 2, ¿qué es A por v?
Autovalores e iteración
Aplicar una matriz una y otra vez (potencias) amplifica sobre todo la dirección del autovalor de mayor módulo. Por eso el autovalor dominante gobierna el comportamiento a largo plazo de sistemas dinámicos, cadena de Markov y del propio poder de una matriz.
Diagonalización como promesa
Si una matriz tiene n autovectores independientes, se puede «ver» en la base de sus autovectores como una simple escala por eje: una matriz diagonal. Esa diagonalización convierte una transformación complicada en n escalamientos independientes. Es el tema de la siguiente lección.
Autos en datos
La descomposición espectral de una matriz de covarianza da los componentes principales: los autovectores marcan las direcciones de máxima variación y los autovalores, cuánta variación captura cada una. PCA es autovalores aplicados.
Errores frecuentes
- Aceptar el vector cero como autovector (por definición debe ser no nulo).
- Confundir el autovalor (un número) con el autovector (una dirección).
- Esperar autovalores reales para matrices no simétricas, que pueden darlos complejos.
El vector cero nunca se considera autovector de una matriz.
Matrices simétricas: el caso bueno
Las matrices simétricas (A igual a su transpuesta) tienen todos sus autovalores reales y autovectores ortogonales entre sí. Es el caso más agradecido y el que aparece en datos, porque las matrices de covarianza son simétricas.
Asigna cada término a su papel:
Autovector
Autovalor
Espacio propio
Característico
Una matriz estira la dirección (1,1) por 3 y deja fija la dirección (1,-1) (factor 1). Escribe sus dos autovalores y autovectores y describe qué le pasa a un vector cualquiera al aplicarle la matriz muchas veces.
3Blue1Brown: Linear Algebra
Serie Essence of Linear Algebra con intuicion geometrica.