Cuadernillo de problemas resueltos: matrices, determinantes y autovalores

El algebra lineal es la columna vertebral computacional de la ciencia de datos: los datos son matrices, las transformaciones son productos y los componentes principales son autovalores. Este cuadernillo resuelve paso a paso los nueve calculos que necesitas dominar con papel (y luego con NumPy): desde una multiplicacion de matrices hasta un minimo cuadrados con tres puntos de datos.

Diagrama de algebra lineal: vectores en 3D, matriz y autovectores. — Vectores, matrices y descomposiciones: el vocabulario geometrico de los datos.

Antes de empezar Haz cada calculo dos veces: una a mano y otra con una libreria. La concordancia entre ambas es tu red de seguridad contra errores de signo, que son la plaga classica del algebra lineal escrita.

Bloque 1 · Operaciones con matrices

Problema 1. Multiplica A = [[2, 1], [0, 3]] por B = [[1, 4], [2, −1]].

Solución paso a paso

Regla fila-por-columna: c(i,j) = fila i de A · columna j de B. Verifica dimensiones: (2x2)(2x2) = (2x2).
c(1,1) = 2·1 + 1·2 = 4. c(1,2) = 2·4 + 1·(−1) = 7.
c(2,1) = 0·1 + 3·2 = 6. c(2,2) = 0·4 + 3·(−1) = −3.
AB = [[4, 7], [6, −3]]. Ojo: BA daria otro resultado: el producto de matrices NO conmuta.

Problema 2. Calcula el determinante de M = [[2, 1, 0], [1, 3, 1], [0, 1, 2]].

Solución paso a paso

Desarrolla por la primera fila: det = 2·det[[3,1],[1,2]] − 1·det[[1,1],[0,2]] + 0.
Primer menor: 3·2 − 1·1 = 5. Segundo menor: 1·2 − 1·0 = 2.
det = 2·5 − 1·2 = 10 − 2 = 8. Determinante no nulo: M es invertible y sus filas son independientes.

Problema 3. Resuelve por eliminacion gaussiana: x + y + z = 6 ; x − y + z = 2 ; 2x + y − z = 1.

Solución paso a paso

Resta R1 a R2 para eliminar x: (x − x) + (−y − y) + (z − z) = 2 − 6, o sea −2y = −4. De momento esto solo nos da y = 2 porque el coeficiente de z se anulo por simetria; lo trataremos como la ecuacion (II): −2y = −4.
Resta 2·R1 a R3: (2x − 2x) + (y − 2y) + (−z − 2z) = 1 − 12 → −y − 3z = −11. Ecuacion (III).
De (III) con y = 2: −2 − 3z = −11 → z = 3. Y back-sustitucion en R1: x = 6 − y − z = 6 − 2 − 3 = 1.
Verifica en las tres: 1 + 2 + 3 = 6 ✓ ; 1 − 2 + 3 = 2 ✓ ; 2 + 2 − 3 = 1 ✓. Solucion (1, 2, 3).

Bloque 2 · Inversa, rango e independencia

Problema 4. Halla la inversa de A = [[4, 7], [2, 6]].

Solución paso a paso

Fórmula 2x2: A⁻¹ = (1/det)·[[d, −b], [−c, a]]. det(A) = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10.
Intercambia a y d, niega b y c: [[6, −7], [−2, 4]].
Divide entre 10: A⁻¹ = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]].
Comprueba A·A⁻¹: fila 1 por col 1: 4·0.6 + 7·(−0.2) = 2.4 − 1.4 = 1 ✓. Debe salir la identidad.

Problema 5. ¿Son linealmente independientes v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 4, 6)? ¿Y con v3 = (0, 1, 1) los tres juntos?

Solución paso a paso

v2 = 2·v1: es un multiplo escalar exacto. v1 y v2 son DEPENDIENTES: estan sobre la misma recta.
Tres vectores en R3 son independientes solo si el determinante de la matriz por filas es no nulo.
det[[1,2,3],[2,4,6],[0,1,1]]: dos filas proporcionales → determinante 0. Dependientes, sin calculo extra: cualquier familia con un multiplo del otro es dependiente en bloque.
Leccion: la correlacion entre features de un dataset (multicolinealidad) es exactamente dependencia lineal: una columna sobra y el modelo se inestabiliza.

Problema 6. Halla rango, nucleo e imagen de A = [[1, 2], [2, 4]].

Solución paso a paso

R2 = 2·R1 → al eliminar queda [[1, 2], [0, 0]]: rango = 1 (una sola fila pivote).
Nucleo: x + 2y = 0 → (x, y) = y·(−2, 1). Base del nucleo: {(−2, 1)}; dimensión 1.
Imagen: combinaciones de las columnas: todo vector proporcional a (1, 2). Base: {(1, 2)}; dimension 1.
Teorema rango-nulidad: 1 + 1 = 2 = numero de columnas ✓. La matriz aplasta el plano en una recta: pierde informacion (por eso un detector de features colapsado es irrecuperable).

Bloque 3 · Ortogonalidad y autovalores

Problema 7. Ortogonaliza v1 = (1, 1, 0) y v2 = (1, 0, 1) con Gram-Schmidt.

Solución paso a paso

u1 = v1 = (1, 1, 0).
Proyeccion: (v2·u1)/(u1·u1) = (1 + 0 + 0)/(1 + 1 + 0) = 1/2.
u2 = v2 − (1/2)u1 = (1 − 1/2, 0 − 1/2, 1 − 0) = (1/2, −1/2, 1).
Verifica: u1·u2 = 1/2 − 1/2 + 0 = 0 ✓. Este calculo es el interior de QR y de PCA: diagonalizar = buscar directions ortogonales.

Problema 8. Halla autovalores y autovectores de A = [[4, 1], [2, 3]].

Solución paso a paso

Polinomio caracteristico: det(A − λI) = (4−λ)(3−λ) − 2 = λ^2 − 7λ + 10.
Factoriza: (λ − 5)(λ − 2) = 0 → autovalores λ1 = 5, λ2 = 2. Truco: traza = 7 = suma; det = 10 = producto.
λ = 5: (A − 5I)v = 0 → [[−1, 1], [2, −2]]·v = 0 → v1 = (1, 1).
λ = 2: (A − 2I)v = 0 → [[2, 1], [2, 1]]·v = 0 → v2 = (1, −2). La matriz estira 5 veces en la direccion (1,1) y 2 veces en (1,−2): eso es PCA en germen.

Problema 9 (minimos cuadrados). Ajusta la recta y = a + bx a los puntos (1,1), (2,3), (3,2) y predice en x = 4.

Solución paso a paso

Acumula: n = 3, suma x = 6, suma y = 6, suma x·y = 1 + 6 + 6 = 13, suma x^2 = 14.
Pendiente: b = (n·Σxy − Σx·Σy)/(n·Σx^2 − (Σx)^2) = (39 − 36)/(42 − 36) = 3/6 = 0.5.
Intercepto: a = media(y) − b·media(x) = 2 − 0.5·2 = 1.
Recta: y = 1 + 0.5x. Prediccion en 4: y = 3. Nota: no pasa por ningun punto: minimiza la suma de errores al cuadrado, no "conecta" puntos.

Mapa de operaciones

Ruta de calculo

Autoexamen cronometrado (20 minutos)

Calcula el determinante de [[3, 1], [2, 4]].

¿Para que valores de k la matriz [[1, k], [k, 1]] es singular?

La traza de [[4, 1], [2, 3]] es igual a la suma de sus autovalores. ¿Cual es esa suma?

Si dos columnas de una matriz son iguales, su determinante es cero.

En el ajuste y = 1 + 0.5x de los puntos (1,1), (2,3), (3,2), ¿cual es el valor predicho en x = 4?

El nucleo de A = [[1,2],[2,4]] tiene dimension .

Video de repaso

Para profundizar

3Blue1Brown: Algebra lineal (visual)
Las mejores animaciones sobre transformaciones lineales y autovalores.

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El problema 6 mostro una matriz que "aplasta" el plano en una recta. Busca un ejemplo en tu vida: dos variables de un dataset que sea multiple exacta de otra (euros y dolares, metros y pies). ¿Que le pasa al modelo si las incluyes a ambas?