Conjuntos numéricos y los reales
Mapa conceptual
Empezamos necesitando números para contar (ℕ). Repartir y medir obligó a aceptar fracciones (ℚ). Las deudas pidieron negativos (ℤ). Y cuando los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no se escribe como fracción, hubo que admitir los irracionales. Todos juntos, racionales e irracionales, forman los números reales ℝ.
| Conjunto | Símbolo | Contiene | Cerrado bajo | No contiene (todavía) |
|---|---|---|---|---|
| Naturales | ℕ | 0, 1, 2, 3… | suma, producto | restas negativas, fracciones |
| Enteros | ℤ | …−2, −1, 0, 1, 2… | resta | divisiones no exactas |
| Racionales | ℚ | toda fracción a/b (b ≠ 0) | división (no entre 0) | √2, π, e |
| Reales | ℝ | racionales + irracionales | límites convergentes | imaginarios (i) |
¿Por qué √2 no es fracción?
Es el ejemplo canónico y vale la pena tener el argumento en la cabeza. Supón que √2 = a/b con la fracción irreducible. Entonces a² = 2b², así que a² es par y por tanto a es par: a = 2k. Sustituyendo, 4k² = 2b², o sea b² = 2k², lo que obliga a b a ser par también. Pero si a y b son ambos pares, la fracción no era irreducible: contradicción. √2 escapa de ℚ.
[y = √x: en x=2 el valor es irracional]
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En la gráfica, casi todos los puntos de la curva tienen coordenadas irracionales. Si trabajáramos solo con ℚ, la curva tendría «agujeros» en cada uno de ellos. La recta real llena esos agujeros: eso es la completitud, la propiedad que hace que un límite que «debería» existir, exista.
De los siguientes, ¿cuál es un número irracional?
Todo número decimal finito es racional.
Clasifica cada número en el conjunto más pequeño de la cadena que lo contiene.
Naturales
Enteros
Racionales
Irracionales
Une cada propiedad de los reales con lo que garantizan.
La diagonal de un cuadrado de lado 1 mide , un número que no pertenece a los . Todos los racionales e irracionales juntos forman el conjunto de los números .
Cómo se suele uno confundir
- «0.999… es «casi» 1 pero no exactamente 1»: en ℝ, 0.999… es exactamente 1; la diferencia sería un «infinitésimo» que en los reales no existe.
- «π = 22/7»: 22/7 es una aproximación racional; π es irracional y ninguna fracción lo iguala.
- «Los irracionales son escasos»: al contrario, en cualquier intervalo hay muchísimos más irracionales que racionales.
Ejemplo resuelto
- ¿Es racional el número x = 0.1666… (el 6 se repite)?
- Separa el dígito no periódico: x = 0.1 + 0.0666…
- Escribe la parte periódica como fracción: 0.0666… = 6/90.
- Suma: 1/10 + 6/90 = 9/90 + 6/90 = 15/90 = 1/6.
- Como resultó una fracción, x es racional (de hecho, 1/6).
Para ciencia de datos, ℝ es el territorio por defecto: una edad, un ingreso, una probabilidad o una coordenada viven en la recta continua. Cuando vemos solo conteos enteros estamos en un subconjunto, pero el modelo sigue operando sobre ℝ.
El mapa de los números
Los números reales (repaso formal)
Recorrido por la construcción de ℝ y sus propiedades, para asentar la notación.
Da un ejemplo de una cantidad del mundo real que sea naturalmente discreta (solo toma valores enteros) y otra que sea continua (requiere los reales). Explica qué operaciones de la cadena ℕ→ℝ tienen o no sentido en cada una.
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