Composición e inversa de funciones

Dadas dos funciones f y g, su composición f después de g aplica primero g y luego f al resultado. El orden importa: en general f de g de x no coincide con g de f de x. Componer es la base de toda red de transformaciones.

Cómo se compone

• Sustituye la expresión de la función interna en cada x de la externa.
• Respeta el orden: la más cercana a la x actúa primero.
• Simplifica el resultado para ver la regla global.

El orden no conmuta

Poner una ropa antes que otra cambia el resultado. Del mismo modo, elevar al cuadrado y luego sumar uno no es lo mismo que sumar uno y luego elevar al cuadrado. Verificar con un número concreto descubre la diferencia al instante.

Dominio de la composición

La composición solo acepta las x cuyo paso por la función interna caiga dentro del dominio de la externa. Por eso su dominio puede ser más pequeño que el de cada pieza por separado.

La idea de función inversa

La inversa de f, escrita f elevado a menos uno, deshace el trabajo de f: si f lleva a a b, la inversa lleva b de vuelta a a. Componer una función con su inversa devuelve la entrada original.

Cuándo existe la inversa

• Hace falta que cada salida provenga de una única entrada (inyectividad).
• Si dos entradas distintas comparten salida, no se puede deshacer sin ambigüedad.
• Gráficamente: la prueba de la recta horizontal detecta funciones invertibles.

Restringir para invertir

Una función no invertible en todo su dominio puede volverse invertible recortándolo. Es el caso de elevar al cuadrado, que se invierte tomando raíz positiva si solo consideramos entradas no negativas.

Cómo se calcula la inversa

• Escribe y igual a la regla, despeja x en términos de y.
• Intercambia los papeles de x e y para reescribir en la convención habitual.
• Comprueba componiendo: f de la inversa de x debe devolver x.

Composición como modelado

Un modelo que escala, aplica una activación y vuelve a escalar es una composición. Descomponer un proceso en funciones simples facilita razonar, depurar y, cuando cada pieza es invertible, reconstruir las entradas.

Inversas en el tratamiento de datos

• Normalizar y luego desnormalizar usa funciones inversas.
• Transformar una escala logarítmica y volver exige exponenciar.
• Cifrar y descifrar son composición de un mapa con su inverso.

Errores frecuentes

• Invertir el orden al componer y obtener una regla distinta a la pedida.
• Suponer que toda función tiene inversa sin comprobar la inyectividad.
• Confundir la inversa f elevado a menos uno con el recíproco uno partido por f.

Ejemplo resuelto: composición e inversa en cadena de escalas

Una app guarda la temperatura en Celsius y necesita pasarla a Kelvin y de ahí a un índice normalizado. Se razona como una cadena de funciones.

1. Componer hacia adelante: normalizar la salida de pasar de Celsius a Kelvin aplicando cada regla sobre la anterior.
2. Verificar el orden: la función pegada a la x actúa la primera.
3. Para recuperar los Celsius desde el índice, hallar la inversa de cada pieza.
4. Invertir en orden contrario: primero la última inversa y al final la primera.
5. Comprobar que componer cada función con su inversa devuelve el valor original.

¿Para qué sirve en la realidad?

Las pipelines de datos son composiciones: escalar, transformar y volver a la escala original exige funciones inversas bien ordenadas para no corromper la información.

Composición de funciones
Aplicar una función al resultado de otra.

# Composición e inversa
## Composición
### la interna actúa primero
### el orden no conmuta
### dominio restringido
## Inversa
### deshace la original
### exige inyectividad
### recta horizontal
## En datos
### normalizar y desnormalizar
### cambiar de escala

Función inversa
Regla que recupera la entrada a partir de la salida de otra función.