Función cuadrática y parábola

Una función cuadrática tiene la forma f de x igual a a por x al cuadrado más b por x más c, con a distinto de cero. Su gráfica es una parábola: abierta hacia arriba si a es positivo, hacia abajo si a es negativo.

El papel de los coeficientes

• a manda sobre la apertura y la orientación de la parábola.
• b desplaza el eje de simetría horizontalmente junto con a.
• c es la ordenada en el origen, donde la curva cruza el eje vertical.

El vértice, el punto clave

El vértice es el máximo o el mínimo de la función. Su abscisa se obtiene como menos b partido por dos a; sustituyéndola en la función se consigue la ordenada. Ese punto es el extremo global porque la parábola tiene una sola vuelta.

Eje de simetría

• La parábola es espejo respecto a la vertical que pasa por el vértice.
• Dos puntos con la misma altura están equidistantes del eje.
• La simetría permite deducir raíces cuando se conoce una.

Cortar con el eje horizontal

Las raíces son los valores de x donde la parábola toca el eje horizontal. Salen de la fórmula general con la raíz cuadrada del discriminante b al cuadrado menos cuatro a c.

El discriminante como anuncio

• Positivo: dos raíces reales, la curva corta en dos puntos.
• Cero: una raíz doble, la parábola roza el eje en su vértice.
• Negativo: ninguna raíz real, la curva nunca cruza el horizontal.

Completar el cuadrado

Reescribir la cuadrática como a por la cantidad x más un número al cuadrado, más una constante, deja a la vista el vértice. Es la misma información que la fórmula general, pero en forma reveladora.

Modelar con parábolas

• Beneficio en función del precio: máximo interior.
• Área con perímetro fijo: óptimo en el vértice.
• Trayectoria bajo gravedad: altura en función del tiempo.

Cuándo NO usar una cuadrática

Fuera del vecindario del extremo, la parábola crece sin control; si el fenómeno se aplana o satura, forzar una curva cuadrática extrapola mal. Ajustar de más con polinomios es sobreajustar.

Interpretar en contexto

En aplicaciones el dominio suele acotarse a valores positivos o a un rango físico. El vértice matemático puede caer fuera de lo admisible; entonces el extremo útil está en un borde del intervalo.

Errores frecuentes

• Olvidar que la fórmula del vértice lleva un signo menos delante de b partido por dos a.
• Confundir la ordenada en el origen c con una raíz de la parábola.
• Extrapolar lejos del extremo, donde la parábola crece sin control y deja de ser realista.

Ejemplo resuelto: precio que maximiza el beneficio

El beneficio en función del precio se modela como B de p igual a menos dos p al cuadrado más ochocientas p menos veinte mil. Conviene hallar el precio óptimo.

1. Identificar los coeficientes: a igual a menos dos, b igual a ochocientos, c igual a menos veinte mil.
2. Como a es negativo, la parábola abre hacia abajo y el vértice es un máximo.
3. Calcular la abscisa del vértice: menos b partido por dos a igual a doscientos.
4. Sustituir p igual a doscientos en la función para obtener el beneficio máximo.
5. Interpretar: por encima de doscientos el beneficio cae, porque las ventas se desploman.

¿Para qué sirve en la realidad?

Fijar el precio que más beneficio deja, la dosis que minimiza el coste o el punto de máxima eficiencia son optimizaciones que una cuadrática resuelve con solo leer su vértice.

Función cuadrática
Definición, gráfica, vértice y raíces de la parábola.

# Función cuadrática
## Forma
### a decide apertura y orientación
### parábola simétrica
## Vértice
### extremo global
### abscisa menos b entre dos a
## Raíces
### discriminante anuncia cuántas
### cortes con el eje horizontal

Parábola
Curva geométrica gráfica de una función cuadrática y su vértice.