Exponenciales y logaritmos
Una función exponencial tiene la variable en el exponente: base constante elevada a x. Si la base supera uno, crece cada vez más rápido; si está entre cero y uno, decae. La base neperiana e es la estrella por sus propiedades de cálculo.
La exponencial como crecimiento multiplicativo
- Cada paso multiplica por un factor fijo, no suma una cantidad fija.
- El ritmo relativo se mantiene; el absoluto se acelera.
- Duplicarse una y otra vez produce cifras que estallan sin aviso.
El logaritmo, operación inversa
El logaritmo pregunta con qué exponente hay que elevar una base para obtener un número. Es la inversa de la exponencial: logarithmo y exponenciación se deshacen mutuamente.
Propiedades que simplifican
- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.
- El logaritmo de un cociente es la resta de logaritmos.
- El logaritmo de una potencia baja el exponente como factor.
Bases y el logaritmo natural
El logaritmo en base e se llama natural; en base diez, decimal; en base dos, binario. Cambiar de base solo multiplica por una constante, así que en modelado la elección suele ser de comodidad.
Comprimir escalas
- Un logaritmo aplasta valores enormes en diferencias manejables.
- Convierte relaciones multiplicativas aditivas, más lineales de analizar.
- Estabiliza la varianza cuando los datos crecen con el nivel.
Exponenciales en el mundo
- Interés compuesto y crecimiento de poblaciones.
- Propagación de enfermedades y de información.
- Decaimiento radiactivo y amortización de valores.
Logaritmos en ciencia de datos
- Regresión en escala log para elasticidades y rendimientos decrecientes.
- La entropía y las verosimilitudes se miden en logaritmos.
- Normalizar variables muy asimétricas con transformación log.
Cuidado con el dominio logarítmico
El logaritmo solo acepta argumentos estrictamente positivos. Ante datos con ceros o negativos hay que desplazar o tratar antes de aplicar el logaritmo; ignorarlo genera errores o valores perdidos.
Leer pendientes logarítmicas
- En papel semilog, una recta delata crecimiento exponencial.
- La pendiente marca la tasa de crecimiento relativo.
- Comparar magnitudes es más honesto en escala logarítmica.
Errores frecuentes
- Aplicar el logaritmo a un cero o a un negativo, donde no está definido.
- Confundir el logaritmo de un producto con el producto de los logaritmos.
- Comparar crecimientos en escala lineal y subestimar lo que es en realidad exponencial.
Ejemplo resuelto: de usuarios que se duplican a una recta
Una app duplica sus usuarios cada mes. Para ver el ritmo con claridad conviene linealizar con logaritmos.
- Modelar el crecimiento como una exponencial: usuarios iniciales por dos elevado a los meses transcurridos.
- Aplicar logaritmo a ambos lados: el logaritmo de los usuarios es una recta en los meses.
- La pendiente de esa recta es el logaritmo de dos, el factor de crecimiento relativo.
- En papel semilog, la exponencial se lee de un vistazo como línea recta.
- Extrapolar con cuidado: lo que es recta en escala log estalla en escala lineal.
¿Para qué sirve en la realidad?
Medir riesgos financieros, viralidad de contenido o propagación de epidemias exige pensar en exponenciales; los logaritmos comprimen esas escalas para que quepan en un modelo y en una gráfica legible.
El logaritmo de un producto de dos números positivos es igual a:
El logaritmo puede aplicarse directamente a un valor cero o negativo.
Exp y log
Empareja cada propiedad con su desarrollo.
Producto
Cociente
Potencia
Logaritmo
Operación inversa de la exponenciación y sus propiedades.
Une cada expresión con su propiedad logarítmica:
Crecimiento y escala
# Exponenciales y logaritmos ## Exponencial ### variable en el exponente ### crecimiento multiplicativo ### base e ## Logaritmo ### inversa de la exponencial ### dominio solo positivo ## Uso en datos ### comprimir escalas ### entropía y verosimilitud ### semilog
Función exponencial
Función con la variable en el exponente que modela crecimiento y decaimiento.
Una startup pasa de 10 a 1000 usuarios en un año. Explica por qué una gráfica en escala logarítmica comunica mejor su crecimiento que una lineal, y qué pregunta responde la pendiente.