Trigonometría esencial
En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo es el cateto opuesto partido por la hipotenusa, y el coseno el cateto adyacente partido por la hipotenusa. La tangente es el cociente entre seno y coseno. Estas razones dependen solo del ángulo, no del tamaño del triángulo.
El círculo unitario
Al generalizar sobre una circunferencia de radio uno, el coseno es la coordenada horizontal y el seno la vertical del punto alcanzado al girar un ángulo. Así seno y coseno dejan de ser solo de triángulos y valen para cualquier ángulo, incluso negativos o mayores de una vuelta.
Radianes, no grados
- El radián mide el ángulo por la longitud de arco barrido en el círculo unitario.
- Una vuelta completa son dos pi radianes; media vuelta, pi.
- En cálculo y modelado se trabaja en radianes porque simplifican las fórmulas.
Periodicidad
Seno y coseno son periódicos: se repiten cada 2 pi. Esa repetición los convierte en el bloque fundamental para describir señales, estacionalidad y cualquier ciclo.
Amplitud, frecuencia y fase
- La amplitud estira la onda en vertical.
- La frecuencia comprime o dilata el ciclo en horizontal.
- La fase desplaza la onda a lo largo del eje.
Identidades útiles
- El seno al cuadrado más el coseno al cuadrado vale siempre uno.
- Permite pasar de una razón a otra sin medir ángulos.
- Son la base para simplificar expresiones periódicas.
Resolver triángulos cualesquiera
Las leyes de senos y de cosenos extienden la trigonometría a triángulos no rectángulos, permitiendo calcular distancias inaccesibles a partir de ángulos observables.
Ondas como suma de senos
- Cualquier patrón periódico razonable se descompone en senos y cosenos.
- Esa es la idea de la transformada de Fourier.
- Fundamento del procesamiento de señales y de series temporales.
Trigonometría en datos
- Modelar estacionalidad en ventas o energía con términos seno y coseno.
- Codificar la hora del día o el día de la semana como ángulos, evitando saltos bruscos.
- Suavizar y filtrar señales periódicas.
Errores típicos
Meclar grados y radianes es el fallo más común y silencioso: las calculadoras y librerías suelen esperar radianes, y un ángulo mal interpretado distorsiona toda la onda sin avisar.
Ejemplo resuelto: modelar el ciclo diario de consumo
El consumo eléctrico de una ciudad sube por la mañana, baja de madrugada y vuelve a subir al anochecer. Se quiere una función que capture ese ciclo de veinticuatro horas.
- Codificar el tiempo como ángulo: el día completo corresponde a dos pi radianes.
- Elegir un coseno como base, porque repite cada vuelta y marca un pico al empezar el día.
- Ajustar la amplitud al rango entre el mínimo y el máximo de consumo.
- Fijar la frecuencia en un ciclo cada veinticuatro horas y la fase para alinear el pico real.
- Sumar una constante media para desplazar la onda al nivel de consumo medio.
¿Para qué sirve en la realidad?
Todo lo que oscila —ventas estacionales, señales, ritmo cardiaco, ciclos de energía— se describe con seno y coseno; saber leer amplitud, frecuencia y fase convierte la trigonometría en lenguaje de series temporales.
En el círculo unitario, para un ángulo dado, la coordenada horizontal del punto corresponde a:
Las funciones seno y coseno son periódicas con periodo dos pi.
Trigonometría
Empareja cada término con la magnitud que describe.
Amplitud
Frecuencia
Fase
Funciones trigonométricas
Seno, coseno y sus propiedades sobre el círculo unitario.
Une cada término con la magnitud que describe de una onda:
Ángulos y ciclos
# Trigonometría ## Círculo unitario ### coseno es abscisa ### seno es ordenada ### radianes ## Ondas ### periodicidad dos pi ### amplitud, frecuencia y fase ## En datos ### estacionalidad ### codificar hora y día ### Fourier
Círculo unitario
Definición geométrica de seno y coseno mediante una circunferencia de radio uno.
Tienes datos de consumo eléctrico por hora y quieres modelar el ciclo diario. Explica por qué conviene codificar la hora como ángulo con seno y coseno en lugar de como número entero lineal.