Cuadernillo de problemas resueltos: álgebra y funciones
Consolidar las tecnicas algebraicas basicas (factorizacion, ecuaciones, inecuaciones, funciones, logaritmos) mediante nueve problemas resueltos paso a paso y un autoexamen con respuesta.
Cuadernillo de problemas resueltos: álgebra y funciones
Este cuadernillo es tu banco de ejercicios con solución detallada de Fundamentos de Matemáticas. En un libro impreso los problemas están al final del capítulo y las soluciones, cuando aparecen, ocupan una línea; aquí cada problema viene con su resolución paso a paso y con la justificación de cada movimiento. La regla de oro: intenta cada problema cinco minutos con papel y lápiz antes de revelar la solución. Si no puedes, estudia la solución, tápala y reescríbela tú solo.
El álgebra es el sistema de notación que permite plantear cualquier problema de ciencias de datos como ecuación.
Cómo usar este cuadernillo Nueve problemas resueltos cubren factorización, ecuaciones, inecuaciones, sistemas, funciones y logaritmos. Después, un mapa de estrategias y un autoexamen cronometrado de 20 minutos con respuestas. Repite el cuadernillo hasta que puedas resolver cada problema sin mirar.
Bloque 1 · Factorización y ecuaciones
Problema 1. Factoriza por completo el polinomio x^4 − 5x^2 + 4 y halla sus cuatro raíces.
Solución paso a paso
Reconoce la estructura: es un trinomio "cuadratico disfrazado", con x^2 en lugar de x. Apila un cambio de variable temporal: u = x^2.
Factoriza el trinomio en u: u^2 − 5u + 4. Busca dos números que sumen 5 y multipliquen 4: son 1 y 4. Resultado: (u − 1)(u − 4).
Deshaz el cambio: (x^2 − 1)(x^2 − 4). Ambos factores son diferencias de cuadrados.
Aplica a^2 − b^2 = (a − b)(a + b): queda (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2). Las raices son x = 1, −1, 2, −2.
Verificacion: el producto de las raices debe valer el termino independiente (4) con signo (−1)^4: (1)(−1)(2)(−2) = 4. Coincide.
Problema 2. Resuelve la ecuacion racional 2/(x − 3) + 1/(x + 1) = 1.
Solución paso a paso
Dominio primero: x no puede valer 3 ni −1 porque anularian denominadores. Anótalo antes de empezar.
Multiplica toda la ecuacion por el minimo comun denominador (x − 3)(x + 1): quedan 2(x + 1) + (x − 3) = (x − 3)(x + 1).
Pasa todo a un lado: x^2 − 5x − 2 = 0. Es cuadratica con a = 1, b = −5, c = −2.
Fórmula general: x = (5 ± √(25 + 8))/2 = (5 ± √33)/2. Numéricamente x ≈ 5.37 o x ≈ −0.37. Ninguna choca con las restricciones: ambas valen.
Problema 3. Resuelve la inecuacion |2x − 1| ≤ 5 y escribe la solución como intervalo.
Solución paso a paso
El valor absoluto |A| ≤ c equivale a −c ≤ A ≤ c (para c positivo). Aquí: −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5.
Suma 1 a las tres partes: −4 ≤ 2x ≤ 6.
Divide entre 2 (positivo, el sentido de la desigualdad no cambia): −2 ≤ x ≤ 3.
Intervalo solucion: [−2, 3]. En notacion de conjuntos: {x : −2 ≤ x ≤ 3}.
Error frecuente Multiplicar o dividir una inecuacion por un numero negativo sin girar el signo de desigualdad. En valores absolutos, |2x − 1| ≥ 5 se separa en DOS casos (x ≥ 3 o x ≤ −2); no lo confundas con el caso ≤, que es un solo intervalo.
Bloque 2 · Sistemas y funciones
Problema 4. Resuelve el sistema 3x + 2y = 16 ; x − y = 2.
Solución paso a paso
Despeja la variable mas simple: de la segunda ecuacion, x = y + 2.
Sustituye en la primera: 3(y + 2) + 2y = 16 → 3y + 6 + 2y = 16 → 5y = 10 → y = 2.
Fórmula: x = (12 ± √(144 − 88))/4 = (12 ± √56)/4 = 3 ± √14/2. Aproximacion: x ≈ 4.87 o x ≈ 1.13. Las composiciones NO conmutan; solo coinciden en dos puntos.
Idea clave f(g(x)) ≠ g(f(x)) en general. En machine learning esto aparece constantemente: el orden de las transformaciones de un pipeline importa (escalar antes o despues de un kernel cambia el resultado).
Bloque 3 · Cuadraticas, logaritmos y trigonometria
Problema 7. Dados f(x) = 2x^2 − 12x + 16: halla vertice, raices y minimo. ¿Que dimensiones de rectangulo de perimetro 40 m maximizan el area?
Vertice: (3, −2). Como el coeficiente 2 es positivo, la parabola abre hacia arriba: el vertice es el minimo, f(3) = −2.
Raices: 2(x − 3)^2 = 2 → (x − 3)^2 = 1 → x = 4 o x = 2.
Aplicacion: lados x y 20 − x (perimetro 40 → semiperimetro 20). Area A(x) = x(20 − x) = −x^2 + 20x: parábola hacia abajo con vertice en x = 10. Maximo: 10 × 10 = 100 m^2.
Problema 8. Resuelve log2(x) + log2(x − 2) = 3. Y despues: una muestra decaen a N(t) = 100·e^(−0.05t); ¿cuando vale 50?
Solución paso a paso
Suma de logaritmos = logaritmo del producto: log2(x(x − 2)) = 3.
Candidatos x = 4 y x = −2, pero log2(x) solo existe para x positivo: x = −2 se descarta. Solucion: x = 4.
Decaimiento: 100·e^(−0.05t) = 50 → e^(−0.05t) = 0.5 → −0.05t = ln(0.5) → t = ln(2)/0.05 ≈ 13.86 periodos. El logaritmo natural convierte rates en tiempos: es el patron de todas las vidas medias.
Problema 9. Resuelve 2·sin(x) = 1 en el intervalo [0, 2π).
Solución paso a paso
Aisla: sin(x) = 1/2.
En el circulo unitario el seno (coordenada y) vale 1/2 en los angulos π/6 (30°) y 5π/6 (150°): el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante.
Soluciones: x = π/6 y x = 5π/6. Si el dominio fuera todo R, añades +2πk.
Mapa de estrategias
Que tecnica uso
Autoexamen cronometrado (20 minutos)
Resuelve en papel sin mirar arriba. Al terminar, responde aqui: cada pregunta vale el mismo punto; con 5 de 6 has aprobado el bloque.
Cual es el valor de log3(81)?
¿Cual es la factorizacion de x^2 − 7x + 12?
Halla x en el sistema x + y = 10 ; x − y = 4.
La funcion √x esta definida para todo numero real.
¿En que valor de x alcanza su minimo f(x) = 2x^2 − 12x + 16?
La solucion de |2x − 1| ≤ 5 es el intervalo [, 3].
¿Que tipo de problema te costo mas: los que requieren manipular expresiones o los que requieren interpretar una restriccion (dominio, signo)? En ciencia de datos, la segunda familia es la que mas modelos rompe en silencio.
