Cuadernillo de problemas resueltos: errores, raices e interpolacion

Los modelos de machine learning no resuelven ecuaciones: las aproximan iterando. Este cuadernillo te entrena en el calculo del dia a dia de un cientifico de datos: medir el error, acotar una raiz por biseccion, acelerar con Newton, interpolar datos, integrar a mano cuando no hay formula cerrada y darte cuenta de cuando un sistema esta mal acondicionado. Cada problema viene con suaritmetica completa: no te saltes pasos.

Diagrama de metodos numericos: convergencia de biseccion, iteraciones de Newton y malla de interpolacion. — Todo metodo numerico es una pregunta repetida: cerca de quanto?

Como usar este cuadernillo Ocho problemas resueltos cubren error relativo, biseccion con conteo de iteraciones, Newton, Lagrange, trapecio, Simpson, pivoteo y aritmetica flotante. Al final, autoexamen cronometrado con clave. Ten calculadora a mano y reproduce cada numero.

Bloque 1 · Error y raices

Problema 1. Aproxima pi por 22/7. Calcula el error absoluto y el error relativo (en porcentaje).

Solucion paso a paso

Valores: 22/7 = 3.142857143 y π = 3.141592654.
Error absoluto = |3.142857 − 3.141593| = 0.001264.
Error relativo = 0.001264 / 3.141593 = 0.000402, es decir 0.04%.
Lectura: el 0.001264 por si solo no dice nada; relativo al tamano de la magnitud es 4 centesimas por ciento. En metricas de modelo se reportan ambos: MAE (absoluto) y MAPE (relativo).

Problema 2. Cuenta las iteraciones de biseccion necesarias para acotar la raiz de f(x) = x^3 − x − 2 en [1, 2] con tolerancia 10^(−3), y da el resultado aproximado.

Solucion paso a paso

Primero comprueba cambio de signo: f(1) = 1 − 1 − 2 = −2 y f(2) = 8 − 2 − 2 = +4. Hay raiz: el teorema intermedio la garantiza (f es continua).
Cota de iteraciones: el intervalo se parte a la mitad cada paso, tamano tras n pasos = (b−a)/2^n. Exige (2−1)/2^n ≤ 0.001 → 2^n ≥ 1000 → n ≥ log2(1000) ≈ 9.97 → n = 10 iteraciones.
Itera y anota: c = 1.5, f(c) = 3.375 − 1.5 − 2 = −0.125 → nueva horquilla [1.5, 2].
c = 1.75: 5.36 − 1.75 − 2 = +1.61 → [1.5, 1.75]. c = 1.625: 4.29 − 1.63 − 2 = +0.67 → [1.5, 1.625]. c = 1.5625: +0.25 → [1.5, 1.5625]. c = 1.53125: +0.06 → [1.5, 1.53125]. c = 1.515625: −0.034 → [1.515625, 1.53125].
Tras 6 iteraciones la horquilla mide 0.0156 y la raiz esta en torno a 1.521 (valor real 1.5214). Cada iteracion compra exactamente un bit de precision: cero sorpresas, convergencia lineal y garantizada.

Problema 3. Aplica Newton a f(x) = x^2 − 2 desde x0 = 1.5, dos iteraciones. ¿Cuantas cifras correctas ganas por paso?

Solucion paso a paso

Formula de Newton: x_(n+1) = x_n − f(x_n)/f′(x_n). Aqui f′(x) = 2x, o sea x − (x^2−2)/(2x), que simplifica a la media (x + 2/x)/2.
Iteracion 1: x1 = (1.5 + 2/1.5)/2 = (1.5 + 1.33333)/2 = 1.41667.
Iteracion 2: x2 = (1.41667 + 2/1.41667)/2 = (1.41667 + 1.41176)/2 = 1.41422. La raiz real es 1.41421356.
Cifras correctas: x0 aporta 1 (1.5 frente a 1.41), x1 aporta 4 decimales, x2 cinco mas: el numero de cifras se DOBLA cada paso. Eso es convergencia cuadratica; el precio a cambio: evaluar f y f′ y un punto de partida cerca.

Cuando Newton falla Si x0 cae en un punto donde f′ se anula, el metodo sale disparado; con funciones oscilantes puede ciclar. En deep learning, el gradiente descendente es un Newton "pobre" que solo usa primera derivada: por eso converge linealmente y necesita learning rate.

Bloque 2 · Interpolacion e integracion numerica

Problema 4. Interpola por Lagrange los puntos (1, 2), (2, 5), (3, 10) y estima P(2.5).

Solucion paso a paso

Formula: P(x) = Σ yᵢ·Lᵢ(x), con Lᵢ el polinomio que vale 1 en xᵢ y 0 en los demas: L1 = (x−2)(x−3)/((1−2)(1−3)), L2 = (x−1)(x−3)/((2−1)(2−3)), L3 = (x−1)(x−2)/((3−1)(3−2)).
Sustituye los y: P(x) = 2·(x−2)(x−3)/2 + 5·(x−1)(x−3)/(−1) + 10·(x−1)(x−2)/2.
Expande: (x^2 − 5x + 6) − 5(x^2 − 4x + 3) + 5(x^2 − 3x + 2) = x^2 + 1. Los tres puntos de hecho vivian sobre y = x^2 + 1.
P(2.5) = 6.25 + 1 = 7.25.
Aviso: con muchos puntos, Lagrange global oscila salvajemente entre nodos (fenomeno de Runge). En la practica se interpolan trozos: splines.

Problema 5. Aproxima ∫₀¹ x^2 dx con la regla del trapecio para n = 4 y da el error frente al valor exacto 1/3.

Solucion paso a paso

Nodos con h = 0.25: x = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 con f = 0, 0.0625, 0.25, 0.5625, 1.
Trapecio: T = (h/2)·[f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 + f4] = 0.125·[0 + 2(0.875) + 1] = 0.125·2.75.
T = 0.34375. Error = 0.34375 − 0.33333 = +0.0104: el trapecio sobreestima porque x^2 es convexa (las cuerdas quedan por encima).

Problema 6. Resuelve la misma integral con Simpson para n = 2 (h = 0.5). ¿Por que sale exacta?

Solucion paso a paso

Simpson: S = (h/3)·[f(0) + 4f(0.5) + f(1)] = (0.5/3)·[0 + 4(0.25) + 1].
S = (0.5/3)·2 = 1/3: exactamente el valor verdadero.
Razon: Simpson encaja una parabola en cada tramo y x^2 ES una parabola: el grado 2 lo integra sin error. Simpson es exacto hasta cubicas (error del orden de h^4).

Bloque 3 · Sistemas y flotantes

Problema 7. El sistema x + y = 2 ; x + 1.01y = 2.01 tiene solucion (1, 1). ¿Que pasa si el segundo termino pasa a 2.02? Conclusionea sobre el condicionamiento.

Solucion paso a paso

Restando ambas ecuaciones: 0.01y = 0.01 → y = 1 y x = 1.
Con b2 = 2.02: 0.01y = 0.02 → y = 2 y x = 0.
La entrada cambio un 0.5% y la solucion un 100%: las dos rectas son casi paralelas. Matriz MAL condicionada; cualquier redondeo se amplifica.
Defensa: pivoteo parcial, escalado, y en ML la regularizacion (λI) que "separa" las rectas. Si tu matriz de caracteristicas tiene columnas casi multiples, el modelo es inestable: de ahi la multicolinealidad.

Problema 8. ¿Es 0.1 + 0.2 igual a 0.3 en un ordenador? ¿Y (10^16 + 1) − 10^16?

Solucion paso a paso

0.1 y 0.2 no tienen representacion exacta en binario: 0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004. Compara con tolerancia: abs(a − b) menor que eps, nunca con ==.
10^16 + 1: el float64 guarda 15-16 cifras significativas; el 1 queda por debajo de la ultima y se traga: (10^16 + 1) − 10^16 = 0. La suma deja de ser asociativa.
Consecuencia practica: al promediar millones de gradientes, suma en orden creciente de tamano o usa Kahan/float64; los frameworks de entrenamiento lo hacen por ti por algo.

Mapa de estrategias

Que metodo numerico uso

Autoexamen cronometrado (20 minutos)

Papel y lapiz primero; aqui solo las respuestas finales.

Cuántas iteraciones de biseccion garantizan precision 10^(−3) en un intervalo de longitud 1. Usa n = log2(1000) y redondea al entero de arriba.

¿Que dato EXTRA necesita Newton frente a biseccion?

La regla de Simpson es exacta para polinomios de grado 3 o menos.

Interpola con el polinomio del problema 4 (P(x) = x^2 + 1): cuanto vale P(3.5)?

El error de 22/7 al aproximar pi vale 0.001264; el error lo expresa como 0.04% de la magnitud.

Empareja metodo con su garantia.

Video de repaso

Para profundizar

MIT OpenCourseWare: Computational Science
Apuntes y problemas resueltos de analisis numerico, gratuito y estable.

MIT OCW: Introduction to Numerical Methods
Apuntes gratuitos del curso de metodos numericos del MIT: condicion y estabilidad explicadas con rigor.

El problema 7 conecta con tu proximo modelo lineal: si dos caracteristicas son casi proporcionales, los coeficientes saltan con cada fila nueva. ¿Que tecnica de preprocessing de tu toolbox rompe ese paralelismo?