Independencia de eventos
Mapa conceptual
La intuición
Dos eventos son independientes si el conocimiento de uno no altera tu grado de certeza sobre el otro. El resultado del primer lanzamiento de una moneda no cambia la probabilidad de cara en el segundo: son independientes. Sacar un as del mazo, en cambio, sí cambia las probabilidades de la siguiente carta: son dependientes.
Definición formal
A y B son independientes si P(A y B) = P(A) por P(B). La probabilidad conjunta es el producto de las marginales. Equivalentemente, P(A dado B) = P(A): condicionar por B no mueve nada. Ambas formulaciones dicen lo mismo.
Cómo verificarla
- Calcula P(A), P(B) y P(A y B) por separado.
- Comprueba si la conjunta coincide con el producto de las marginales.
- Si se cumple, son independientes; si difiere, hay dependencia (positiva o negativa).
Independencia frente a exclusión mutua
Un evento imposible de compartir (disjuntos) y un evento sin influencia (independientes) son ideas opuestas. Si A y B son disjuntos y ambos tienen probabilidad positiva, conocer A fuerza a B a cero: cambiar la probabilidad es precisamente dependencia. Así que dos disjuntos reales nunca son independientes.
Un ejemplo que aclara
Lanzar dos monedas: A = «la primera es cara», B = «la segunda es cara». Son independientes y a la vez pueden ocurrir juntas. Aquí conjunta = un cuarto, producto de medias = un cuarto: coincide. La independencia convive con el solape.
| Relación | Qué significa | ¿Pueden ocurrir juntos? |
|---|---|---|
| Independientes | uno no informa del otro | sí |
| Disjuntos (excluyentes) | no comparten resultados | no |
| Dependientes | uno cambia la probabilidad del otro | sí o no |
Si A y B son mutuamente excluyentes y ambos tienen probabilidad mayor que cero, ¿son independientes?
Independencia de varios eventos
Para tres o más eventos se exige que el producto funcione no solo para los tres juntos, sino para cada pareja y subgrupo. Puede ocurrir que tres eventos sean «independientes dos a dos» y aun así no sean mutuamente independientes: la condición conjunta es más fuerte.
Parejas versus global
Un clásico contraejemplo: una moneda doble que siempre muestra el mismo lado en dos tiradas fingidas. Cada par parece independiente, pero los tres juntos no. En datos, suponer independencia global a partir de comprobaciones parciales es peligroso.
Independencia condicional
Dos eventos pueden ser dependientes en general pero independientes una vez que condicionas a un tercero. Esta independencia condicional es el corazón de modelos como los redes bayesianas, donde se aprovechan las relaciones que sí se factorizan.
En el modelado de datos
Muchos algoritmos asumen independencia entre observaciones (una muestra aleatoria) o entre características (el clasificador ingenuo de Bayes). La suposición simplifica el cálculo muchísimo; a costa de ser falsa en la práctica, de ahí su apodo «ingenuo».
Cómo se rompe
- Series temporales: la observación de hoy depende de la de ayer.
- Datos agrupados: pacientes del mismo médico comparten factores.
- Muestreo sin reemplazo: extraer una ficha cambia las probabilidades de la siguiente.
Errores frecuentes
- Confundir independencia con exclusión mutua, que son casi opuestas.
- Asumir independencia por comodidad sin comprobarla ni declarar el supuesto.
- Exigir solo el producto de los tres y llamar a eso independencia mutua.
Dos eventos disjuntos con probabilidad positiva son independientes.
Probar con datos
En la práctica no conoces las probabilidades verdaderas, sino frecuencias. Comparar la conjunta observada con el producto de las marginales muestrales, dentro del margen del azar, es la forma empírica de cuestionar la independencia (la base de un test de chi-cuadrado de tablas de contingencia).
Clasifica cada pareja de eventos:
Independientes
Dependientes
Disjuntos
Wikipedia
Definición formal y matices de la independencia.
Da un ejemplo de dos eventos que sean independientes y puedan ocurrir a la vez, y otro de dos eventos disjuntos. Explica por qué el segundo caso NO puede ser independiente.