Variable aleatoria discreta
Mapa conceptual
¿Qué es una variable aleatoria?
Una variable aleatoria es una función que asigna un número a cada resultado de un experimento. Al lanzar dos dados, X = «suma de los puntos» toma valores entre 2 y 12. No es una variable que «se mueve» misteriosamente: es una regla que mapea resultados a números, y cada número tiene su probabilidad.
Discreta frente a continua
- Discreta: toma valores aislados y contables (número de clientes, caras obtenidas, dados).
- Continua: toma cualquier valor en un intervalo (estatura, tiempo de espera).
Función de masa
La función de masa de probabilidad, p(x), dice cuánta probabilidad cae sobre cada valor x. Para una variable discreta es simplemente una tabla: «probabilidad de que X valga exactamente 0, 1, 2...». Debe cumplir dos cosas: ninguna masa negativa, y todas las masas suman uno.
Verificar una masa válida
- Comprueba que cada p(x) está entre cero y uno.
- Suma p(x) sobre todos los valores posibles: debe dar exactamente uno.
- Si suma menos o más, la distribución está mal definida o falta un valor.
Función de distribución acumulada
La F(x) acumulada responde a «¿qué probabilidad hay de que X sea menor o igual a x?». Es una escalera que sube de peldaño en cada valor y llega a uno. Desde ella se leen probabilidades de intervalos sin sumar término a término.
Ejemplo: número de caras
Al lanzar tres monedas, X = «número de caras» toma 0, 1, 2 o 3. Por simetría las masas son 1/8, 3/8, 3/8 y 1/8. Suman dieciseisavos: uno. Es un modelo discreto completísimo: basta esa tabla para saber cualquier probabilidad sobre X.
| Valor de X | Probabilidad (masa) | Acumulada F(x) |
|---|---|---|
| 0 | 1/8 | 1/8 |
| 1 | 3/8 | 4/8 |
| 2 | 3/8 | 7/8 |
| 3 | 1/8 | 8/8 = 1 |
¿Qué condición debe cumplir la función de masa de una variable aleatoria discreta válida?
Modelos discretos frecuentes
Muchas situaciones reales son discretas por naturaleza: conteos de eventos (defectos, clics, llegadas), número de éxitos en un conjunto de ensayos, o categorías ordenadas con una probabilidad asignada. Reconocer la estructura discreta guía qué distribución usar después.
De la masa a la esperanza
La masa de probabilidad no solo describe; permite calcular promesas ponderadas como la media o la varianza. Cada valor aporta su magnitud «pesada» por su probabilidad. De ahí salen las herramientas de la siguiente lección.
Soporte de la variable
El soporte es el conjunto de valores con masa estrictamente positiva. Definirlo bien es parte de modelar: si crees que un conteo puede llegar a diez pero solo enumeras hasta cinco, tu masa no sumará uno y el modelo fallará silenciosamente.
Errores frecuentes
- Olvidar algún valor posible y dejar la masa sumando menos que uno.
- Confundir la masa p(x) con la acumulada F(x): la primera es «exactamente», la segunda «hasta».
- Atribuir probabilidad negativa a un valor improbable en vez de cero.
La función de masa asigna a cada valor la probabilidad de que la variable tome exactamente ese valor.
Representar la distribución
Un diagrama de barras con un eje para valores y otro para masa es la fotografía de una variable discreta: su forma, su centro y su dispersión se ven de un vistazo. Es el primer gráfico de cualquier análisis de conteos.
Ordena los peldaños de la acumulada de X = caras en dos monedas (valores 0,1,2):
F0
F1
F2
Total
OpenStax
Variables aleatorias discretas y funciones de probabilidad.
Define una variable aleatoria discreta para tu día a día (p. ej. mensajes recibidos por la mañana). Propón valores posibles, asigna una masa razonable a cada uno y verifica que suman uno.