Esperanza y varianza
Mapa conceptual
Valor esperado
La esperanza E[X] es la media ponderada de los valores de una variable discreta: cada valor multiplicado por su probabilidad, y todo sumado. Es el promedio que obtendrías si repitieras el experimento un número enorme de veces. No tiene por qué ser un valor posible: la esperanza de un dado es 3,5, y nadie saca 3,5.
Cálculo de la esperanza
- Lista los valores posibles de X con su masa de probabilidad.
- Multiplica cada valor por su probabilidad.
- Suma todos los productos: ese es E[X].
Linealidad
La esperanza es lineal: E[aX + b] = a·E[X] + b, y E[X + Y] = E[X] + E[Y] siempre, incluso si X e Y son dependientes. Esta propiedad permite descomponir problemas complicados en sumas de esperanzas simples, un truco poderosísimo en análisis.
Esperanza y toma de decisiones
El valor esperado de una apuesta es la ganancia media por jugada si repitieras muchas veces. Es positivo para el jugador o para la casa según el diseño: por eso un casino gana a largo plazo aunque cada mano sea azar. La esperanza convierte el azar en contabilidad.
Varianza: la dispersión
La varianza Var(X) mide cuán lejos, en promedio al cuadrado, caen los valores de su esperanza. Cada desviación respecto al centro se eleva al cuadrado (para que no se cancelen positivos y negativos) y se promedia con las probabilidades. Grande significa resultados muy repartidos.
Desviación típica
Como la varianza está en unidades al cuadrado, se suele usar su raíz, la desviación típica sigma, que regresa a la escala original de X. Es el número que intuitivamente expresa «típico alejamiento de la media».
Fórmula útil de la varianza
Var(X) = E[X al cuadrado] menos (E[X]) al cuadrado. Calcules por definición o por esta identidad, el resultado es el mismo; la segunda suele ser más rápida porque reutiliza esperanzas.
| Magnitud | Qué resume | Unidades |
|---|---|---|
| Esperanza E[X] | centro o promedio a largo plazo | las de X |
| Varianza Var(X) | dispersión al cuadrado | las de X al cuadrado |
| Desviación sigma | dispersión típica | las de X |
Un juego paga 10 con probabilidad 0,1 y 0 en otro caso. ¿Cuál es el valor esperado de jugar?
Propiedades de la varianza
- Var(aX) = a al cuadrado por Var(X): escalar estira la dispersión al cuadrado.
- Sumar una constante no cambia la varianza: desplaza el centro, no el ancho.
- Para variables independientes, Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y); con dependencia aparece la covarianza.
Covarianza y correlación
Cuando dos variables varían juntas, su varianza conjunta incluye un término de covarianza. La correlación la normaliza entre menos uno y uno para medir la fuerza de esa relación lineal. Es el paso natural de «dispersión de una» a «dispersión compartida de dos».
Ley de los grandes números
La esperanza no es una promesa para una sola jugada, sino un límite: la media de muchas repeticiones converge a E[X]. Por eso la esperanza da tranquilamente la ganancia de un negocio con miles de operaciones, pero no predice el resultado de un único día.
Errores frecuentes
- Esperar que la esperanza sea un valor observable en un solo experimento.
- Sumar varianzas de variables dependientes ignorando su covarianza.
- Confundir varianza con desviación típica por el tema de las unidades al cuadrado.
La esperanza de una variable discreta siempre coincide con uno de sus valores posibles.
Esperanza en datos
En un DataFrame, la media muestral de una columna es una estimación de la esperanza de la variable que la generó, y su desviación típica muestral de sigma. Toda la estadística descriptiva que usas a diario es la cara empírica de estos dos conceptos.
Asigna cada magnitud a su pregunta:
Centro
Dispersion
Tipica
Lineal
OpenStax
Esperanza, varianza y desviación típica de variables aleatorias.
Una aseguradora cobra prima fija y paga siniestro con cierta probabilidad. Plantea la variable «ganancia por póliza», calcula su esperanza e indica qué le diría a la compañía sobre la rentabilidad a largo plazo.