Distribución binomial
Mapa conceptual
Ensayo de Bernoulli
El bloque básico es el ensayo de Bernoulli: un experimento con exactamente dos resultados, «éxito» con probabilidad p y «fracaso» con probabilidad 1 menos p. Un clic o no, una pieza buena o defectuosa, cara o cruz. Todo lo binomial se construye repitiendo este sí/no.
Cuándo hay binomial
- Un número fijo n de ensayos.
- Cada ensayo solo admite éxito o fracaso.
- Los ensayos son independientes entre sí.
- La probabilidad de éxito p es la misma en cada uno.
La variable binomial
X = «número de éxitos en n ensayos» sigue una binomial de parámetros n y p, escrita B(n, p). Sus posibles valores van de cero a n, y la pregunta típica es: ¿qué probabilidad hay de exactamente k éxitos?
La fórmula
P(X = k) = C(n, k) por p elevado a k por (1 menos p) elevado a (n menos k). El factor combinatorio C(n, k) cuenta de cuántas maneras se pueden colocar k éxitos entre n lugares; el resto asigna probabilidad a cada una de esas secuencias.
El coeficiente binomial
C(n, k) es el número de subconjuntos de tamaño k que se pueden elegir de n elementos: n! partido por k! por (n menos k)!. Aparece aquí porque cualquier orden de los mismos k éxitos cuenta igual, y hay que sumarlos todos.
Esperanza y varianza
Para una binomial B(n, p) la esperanza es n por p (el número de éxitos que «toca» en promedio) y la varianza es n por p por (1 menos p). Con 100 ensayos al 30 %, esperas unos 30 éxitos; la dispersión crece hasta p = 0,5 y se estrecha cuando p está cerca de 0 o de 1.
| Parámetro | Significado | Efecto |
|---|---|---|
| n | número de ensayos | a más n, más éxitos esperados |
| p | probabilidad de éxito | centra el reparto en n por p |
| E[X] = n·p | media | éxitos típicos |
| Var = n·p·(1-p) | dispersión | máxima en p = 0,5 |
Se lanzan 4 veces una moneda honesta y X cuenta las caras. ¿Por qué X sigue una binomial B(4, 0,5)?
Calcular sin sufrir
En la práctica no se desarrolla la fórmula a mano: calculadoras y librerías dan P(X igual k), P(X menor o igual k) y colas. En Python, la función de la binomial en scipy.stats permite masa, acumulada y cuantiles. Conocer la fórmula sirve para plantear; la herramienta, para resolver.
Aproximar cuando n crece
Con n enorme y p pequeño, la binomial se parece a una Poisson; con n grande y p moderado, una normal la aproxima bien. Saber cuándo cambiar de modelo ahorra cálculos imposibles y es parte de modelar con criterio.
Cuándo NO es binomial
- Muestreo sin reemplazo de una población pequeña: p cambia en cada ensayo.
- Ensayos dependientes: el resultado anterior influye en el siguiente.
- Más de dos categorías: ahí miras una multinomial, no una binomial.
Errores frecuentes
- Olvidar el coeficiente combinatorio y dar la probabilidad de una sola secuencia.
- Aplicar binomial cuando las probabilidades varían entre ensayos.
- Confundir «exactamente k» con «a lo sumo k» (masa contra acumulada).
En un muestreo sin reemplazo de una población pequeña, el número de éxitos sigue exactamente una binomial.
La binomial en datos
Toda métrica de «cuántos de n» con probabilidad estable es binomial encubierta: tasa de conversión, tasa de error, proporción de respuestas afirmativas. Y sobre esa proporción se construyen intervalos de confianza que verás más adelante.
Ordena las condiciones para usar la binomial:
Fijo
Binario
Independiente
Constante
OpenStax
Distribución binomial: condiciones, fórmula y ejemplos.
Una campaña logra clic en el 2 % de los correos y envías 300. Define la variable binomial apropiada, calcula los clics esperados y explica por qué este conteo sí sigue una binomial.