Variable continua y función de densidad
Mapa conceptual
De discreto a continuo
Una variable continua puede tomar infinitos valores en un intervalo: estatura, tiempo, temperatura. No tiene sentido dar probabilidad a cada punto (habría infinitos y sumarían más de uno). En su lugar se describe cómo se DISTRIBUYE la probabilidad a lo largo del eje.
Función de densidad
La función de densidad f(x) es una curva no negativa cuyo área total bajo ella vale uno. La probabilidad de que X caiga en un intervalo es el área bajo la curva entre los extremos. La densidad en un punto no es una probabilidad: puede superar uno; lo que cuenta es el área.
Dos condiciones
- No negatividad: f(x) mayor o igual que cero para todo x.
- Normalización: el área total bajo la densidad, de menos a más infinito, vale exactamente uno.
Probabilidad como integral
P(a menor o igual X menor o igual b) es la integral de f entre a y b: el área del trapecio bajo la curva en ese tramo. Para intervalos más angostos, menos área; la probabilidad acumulada desde el fondo hasta x es F(x).
Densidad frente a masa
En una variable discreta, la masa da probabilidad exacta a cada valor. En una continua, la densidad da «probabilidad por unidad»: la probabilidad de un punto suelto es cero, y solo los intervalos tienen área. Es un cambio de intuición fundamental.
La acumulada F(x)
La función de distribución acumulada es el área hasta x: nunca decrece, arranca en cero y termina en uno. Derivarla devuelve la densidad; integrarla, las probabilidades de cola. Con F se calculan «menor que», «mayor que» y cuantiles.
| Concepto | Discreto | Continuo |
|---|---|---|
| Reparto | función de masa p(x) | función de densidad f(x) |
| Probabilidad de un punto | p(x) positiva | cero |
| Probabilidad de un tramo | suma de masas | integral (área) |
| Normalización | las masas suman 1 | el área total es 1 |
Para una variable continua con densidad f(x), ¿cuál es la probabilidad de que X tome un valor exacto c?
Esperanza y varianza continuas
El análogo integral de la media ponderada: E[X] es la integral de x por f(x). La varianza sigue la misma lógica con (x menos media) al cuadrado. Son los mismos centros y dispersiones que en discreto, ahora con áreas en vez de sumas.
Elección de la densidad
Distintas formas de f modelan distintos fenómenos: la recta para lo uniforme, la campana para lo normal, la exponencial para tiempos de espera. Elegir la densidad adecuada es elegir la hipótesis sobre cómo se comporta el proceso.
Cuantiles
Un cuantil corta el eje de modo que un porcentaje fijado de área queda por debajo. La mediana deja el 50 % a cada lado; los percentiles, el resto. Invertir la acumulada para encontrar el valor dado el área es el cálculo típico de umbrales.
Errores frecuentes
- Tratar la densidad f(x) como si fuera una probabilidad (y asustarse de que supere uno).
- Atribuir probabilidad positiva a un valor exacto.
- Aceptar una «densidad» cuyo área total no es uno.
La probabilidad de que una variable continua caiga en un intervalo es el área bajo su densidad en ese intervalo.
De la muestra a la densidad
Estimar la densidad a partir de datos (histogramas, kernels) es el modo no paramétrico de ver la forma de una variable continua. Ajustar después una curva teórica a esa forma es el puente entre observar y modelar.
Asigna cada herramienta a su reino:
Discreto
Continuo
OpenStax
Variables aleatorias continuas y funciones de densidad.
Explica con tus palabras por qué la probabilidad de un valor exacto es cero en una variable continua, y cómo aun así tiene sentido hablar de «probabilidad de estar entre a y b».