Distribución normal
Mapa conceptual
La forma
La distribución normal (o gaussiana) es una curva simétrica con forma de campana, concentrada alrededor de su media y con colas que se alejan sin tocar nunca el eje. Su altura máxima y su simetría caen justo en la media, que coincide con la mediana y la moda.
Dos parámetros
- Media mu: centro de la campana, donde se acumula el pico.
- Desviación típica sigma: qué tan ancha es; mayor sigma, más aplanada y extendida.
La típica (estandarización)
Restar la media y dividir por sigma convierte cualquier normal en la normal típica, de media cero y desviación uno. La variable resultante, z, mide «cuántas sigmas» te alejas del centro. Ese truco permite usar una sola tabla para todas las normales.
Regla empírica 68-95-99,7
Casi dos tercios (68 %) de los valores caen a una sigma del centro, el 95 % a dos sigmas y el 99,7 % a tres. Es la forma rápida de estimar probabilidades sin tablas: saber que «dos sigmas» encierra el 95 % resuelve de cabeza muchos problemas.
Calcular con z
- Estandariza el valor de interés: z = (x menos mu) partido por sigma.
- Busca ese z en la tabla de la normal típica (o usa la función de la librería).
- Interpreta el área: probabilidad de caer por debajo (o por encima) de x.
Colas y percentiles
Al revés: dado un percentil (por ejemplo, el 90 %), se busca el z que deja ese área a su izquierda y se deshace la tipificación para recuperar la x original. Así se fijan umbrales y valores críticos.
| Distancia al centro | Área aproximada | Uso |
|---|---|---|
| 1 sigma | 68 % | varias típica alrededor de la media |
| 2 sigmas | 95 % | intervalo de confianza habitual |
| 3 sigmas | 99,7 % | valores casi imposibles, outlier |
| media | 50 % por debajo | la media es también la mediana |
Ejemplo resuelto — Una normal tiene media 70 y sigma 5. Aproximadamente, ¿qué porcentaje de valores cae entre 60 y 80?
- Una normal tiene media 70 y sigma 5. Aproximadamente, ¿qué porcentaje de valores cae entre 60 y 80?
Una normal tiene media 70 y sigma 5. Aproximadamente, ¿qué porcentaje de valores cae entre 60 y 80?
Por qué abunda
El teorema central del límite es el responsable: la media de suficientes observaciones independientes, venga de la distribución que venga, se acerca a una normal. Por eso la campana gobierna los promedios muestrales y justifica tanta metodología estadística.
Supuesto de normalidad
Muchos métodos asumen datos normales. No siempre es así: distribuciones sesgadas, con colas gordas o multimodales violan el supuesto. Comprobar la normalidad (histograma, cuantil-cuantil) es honestidad metodológica antes de aplicar una técnica que la exige.
Normal en machine learning
Inicializaciones de pesos, ruido gaussiano, supuestos de residuos y modelos generativos beben de la normal. Aun cuando los datos no lo sean, su tractabilidad matemática la convierte en el punto de partida de casi todo modelo probabilístico.
Errores frecuentes
- Olvidar estandarizar y buscar un x crudo en la tabla de la normal típica.
- Aplicar la regla 68-95-99,7 a distribuciones claramente no normales.
- Confundir «más o menos dos sigmas» con un intervalo fijo sin mirar sigma.
Estandarizar una normal con media mu y desviación sigma produce una normal típica de media 0 y desviación 1.
De la campana a la decisión
Umbral de anomalía, nota de corte, intervalo de confianza: casi toda decisión basada en una media usa la normal por detrás. Traducir un área a una z y una z a una x concreta es una de las operaciones más rentables del análisis.
Ordena los pasos para hallar P(X mayor que x) con una normal:
Datos
Tipificar
Buscar
Concluir
OpenStax
Distribución normal, tipificación y regla empírica.
Las notas de un examen son normales con media 65 y sigma 10. Estima qué porcentaje superó los 80 y qué porcentaje quedó por debajo de 45. Usa la regla empírica y justifica.
Compuerta de dominio: Distribución normal
Se requiere 70% de aciertos para avanzar.