Cuadernillo de problemas resueltos: probabilidad y distribuciones

La probabilidad es la gramatica de la incertidumbre: sin ella no hay inferencia, ni tests A/B, ni modelos generativos. Este cuadernillo recorre los nueve calculos esenciales del semestre: probabilidad clasica, condicion, el teorema de Bayes con numeros reales, las distribuciones binomial, Poisson, uniforme continua y normal, y esperanza y varianza desde cero. Todos los resultados importantes estan redondeados a 4 decimales: acostumbrate a reportar asi.

Ilustracion de probabilidad: distribucion normal, dados y arbol de probabilidades. — Dados, arboles y campanas: la probabilidad que sostiene toda la inferencia estadistica.

Regla preventiva Antes de aplicar cualquier formula, define el espacio muestral y el evento en palabras. La mayoria de errores de probabilidad no son de calculo: son de haber contado otro experimento distinto al que dice el enunciado.

Bloque 1 · Probabilidad basica y condicion

Problema 1. Se lanzan dos dados honestos. ¿Cual es la probabilidad de que la suma sea 7? ¿Y de que sea un numero par?

Solución paso a paso

Espacio: 6·6 = 36 resultados equiprobables (distingue dado 1 y dado 2).
Suma 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 casos. P = 6/36 = 1/6 ≈ 0.1667.
Suma par: 3 de los 6 valores del segundo dado emparejan cada resultado del primero → 18 casos: P = 1/2. Suma 7 es el maximo de la distribucion de sumas; par no.

Problema 2. De una baraja de 52 cartas se sacan 2 sin reemplazo. ¿Cual es la probabilidad de que ambas sean ases?

Solución paso a paso

Regla del producto: P(A1 y A2) = P(A1)·P(A2 dado A1).
Primera: 4/52 = 1/13. Segunda (quedan 3 ases de 51): 3/51 = 1/17.
P = (1/13)·(1/17) = 1/221 ≈ 0.0045. Con reemplazo seria (1/13)^2 = 1/169 ≈ 0.0059: el reemplazo cambia los numeros.

Problema 3 (Bayes con numeros). Una enfermedad afecta al 1% de la poblacion. El test detecta al 99% de enfermos (sensibilidad) y marca negativo al 95% de sanos (especificidad). Si das positivo, ¿cual es la probabilidad real de estar enfermo?

Solución paso a paso

Formula de Bayes: P(E|+) = P(+|E)·P(E) / [P(+|E)·P(E) + P(+|no E)·P(no E)].
Sustituye: P(+|E) = 0.99, P(E) = 0.01, P(+|no E) = 1 − 0.95 = 0.05, P(no E) = 0.99.
Numerador: 0.99·0.01 = 0.0099. Falsos positivos: 0.05·0.99 = 0.0495. Total: 0.0594.
P(E|+) = 0.0099/0.0594 ≈ 0.1667. Aunque el test sea "buenisimo", un positivo en poblacion rara significa 83% de probabilidad de error: la tasa base manda.

La falacia de la base Ignorar P(E) (la proporcion basal) es el error estadistico mas caro del mundo real: lleva a sobrevalorar alarmas, tests medicos y modelos de fraudes. En modelos de clasificacion, el desbalanceo de clases es la misma historia con otro nombre.

Bloque 2 · Distribuciones discretas

Problema 4. Una moneda justa se lanza 5 veces. ¿Cual es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?

Solución paso a paso

Binomial con n = 5, k = 3, p = 0.5: P = C(5,3)·p^3·(1−p)^2.
C(5,3) = 10 secuencias con 3 caras (el orden no define el evento, la cuenta si).
P = 10 · 0.125 · 0.25 = 10/32 = 0.3125. Cada secuencia individual (CCCXX y demas) vale 1/32: la binomial agrupa por conteos.

Problema 5. Los llamados a un centro llegan a razon de λ = 2 por hora (Poisson). ¿Probabilidad de exactamente 3 llamados en una hora?

Solución paso a paso

Poisson: P(X = k) = e^(−λ)·λ^k/k! con λ = 2, k = 3.
e^(−2) ≈ 0.1353; λ^k = 8; k! = 6.
P = 0.1353·8/6 ≈ 0.1804. Verificacion cruzada: la binomial con n grande y p pequena se acerca a Poisson: modela "muchos intentos, raro exito".

Problema 6. Sea X discreta con tabla: x = 0, 1, 2, 3 con probabilidades 0.1, 0.4, 0.3, 0.2. Halla media y desviacion estandar.

Solución paso a paso

Esperanza: E[X] = Σ x·p = 0 + 0.4 + 0.6 + 0.6 = 1.7.
Segundo momento: E[X^2] = Σ x^2·p = 0 + 0.4 + 1.2 + 1.8 = 3.4.
Varianza: Var = E[X^2] − (E[X])^2 = 3.4 − 2.89 = 0.51.
Desviacion: σ = √0.51 ≈ 0.714. La formula E[X^2] − media^2 es siempre mas rapida que Σ(x − μ)^2·p.

Bloque 3 · Distribuciones continuas

Problema 7. La variable continua X tiene densidad f(x) = c·x^2 en [0, 3] (y 0 fuera). Halla c y E[X].

Solución paso a paso

Normaliza: integral de c·x^2 de 0 a 3 = c·[x^3/3] = 9c = 1 → c = 1/9.
Esperanza: E[X] = integral de x·(x^2/9) de 0 a 3 = (1/9)·[x^4/4] = 81/36 = 2.25.
En continuas la probabilidad de un punto exacto es 0: solo tienen sentido los intervalos. La media 2.25 (mayor que 1.5) refleja la masa acumulada hacia la derecha.

Problema 8. Las estaturas de una poblacion son normales con μ = 170 cm y σ = 10 cm. ¿Probabilidad de superar 185 cm? ¿Y de estar entre 160 y 180?

Solución paso a paso

Estandariza: Z = (X − μ)/σ. Para 185: Z = 1.5. P(Z mayor que 1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668 ≈ 6.7%.
Para 160 y 180: Z = −1 y Z = +1. P(−1 ≤ Z ≤ 1) ≈ 0.8413 − 0.1587 = 0.6826.
El "68-95-99.7": un sigma a cada lado encierra 68%. Memoriza Z = 1.96 → 95%: es el numero de todos los intervalos de confianza.

Problema 9 (geometrica). Un enlace falla con probabilidad 0.8 en cada intento (independientes). ¿Cuantos intentos se esperan hasta el primer exito?

Solución paso a paso

Geometrica con p = 0.2 (exito): E[X] = 1/p = 5 intentos.
Probabilidad de que el primer exito sea justo el cuarto intento: (0.8)^3·(0.2) ≈ 0.1024.
La media 5 no es el valor "mas probable" (el mas probable es 1): la geometrica es muy asimetrica, con cola larga. Media mayor que moda = sesgo positivo: igual que los ingresos y los tiempos de espera.

Mapa de distribuciones

Cual modelo uso

Autoexamen cronometrado (20 minutos)

Lanza 4 monedas justas: ¿cual es P(exactamente 2 caras)? Da la probabilidad como decimal (C(4,2)/16).

El test del problema 3: ¿porque un positivo "99% sensible" da solo 17% de probabilidad real?

Si X es binomial con n = 10, p = 0.3, ¿cual es E[X] = n·p?

En una variable continua, P(X = 1.5) es estrictamente positiva.

Con μ = 170, σ = 10: ¿cual es el valor Z de una estatura de 190? (Z = (X−μ)/σ)

La probabilidad de que el primer exito (p = 0.5) ocurra en el tercer lanzamiento es (1/2)^3 = 1/.

Video de repaso

Para profundizar

Seeing Theory (Brown): probabilidad visual
La mejor manera de "ver" cada distribucion de este cuadernillo.

Khan Academy: estadistica y probabilidad
Ejercicios extras con solucion paso a paso.

El problema 3 te hizo sentir el peso de la tasa base. Busca un caso real de alarmas falsas en fraude bancario o spam: ¿que cambiarías del umbral si el costo de un falso positivo sube 10 veces?