Distribuciones conjuntas: dos variables en una sola tabla

Hasta ahora has lanzado una moneda: la conjunta lanza DOS monedas y pregunta por las cuatro combinaciones. Es el salto de una variable a un vector, y ahi vive toda la analitica real: ingreso-y-gastos, horas-de-sueño-y-rendimiento, edad-y-enfermedad. Este objeto trabaja la tabla conjunta a mano: marginales, condicionales, el criterio de independencia y la covarianza como medida de acoplamiento, con la intuicion geometrica detras de cada numero.

Tabla de doble entrada de distribucion conjunta con marginales al borde. — De ahi el nombre "marginal": las sumas se anotan al margen de la tabla.

Como usar este objeto Un ejemplo continuo con tabla 2x2 resuelta paso a paso (marginales, condicionales, independencia, covarianza y correlacion), una densidad conjunta continua y el puente con Bayes. Cada paso tiene su cuenta explicita: reHazla en papel.

La tabla conjunta: ejemplo conductor

Estudiemos 100 estudiantes ficticios. X = estudio intensivo (S o No), A = aprobo el examen (o no). La distribucion conjunta P(X,Y) asigna probabilidad a cada casilla: aprobar-y-estudiar 0.42, no-aprobar-y-estudiar 0.08, aprobar-sin-estudiar 0.21, no-aprobar-sin-estudiar 0.29. Comprueba que las cuatro suman 1: es la primera condicion de toda conjunta discreta.

Marginales y condicionales de la tabla

MARGINAL de A: suma la columna aprobar por encima de X: P(A) = 0.42 + 0.21 = 0.63. La marginal elimina una variable sumandola: "aprobo, hubiera estudiado o no".
MARGINAL de S: 0.42 + 0.08 = 0.50. Mitad de la clase estudio intensivo. P(No) = 0.50 tambien, y las dos suman 1.
CONDICIONAL P(A|S): de los que estudiaron, cuanto aprobaron: 0.42 / 0.50 = 0.84. Se renormaliza DENTRO de la fila: la condicional vive en un submundo.
P(A|No) = 0.21 / 0.50 = 0.42. La diferencia 0.84 frente a 0.42 ES el efecto estudiar en esta poblacion (ojo: en datos reales, seleccion: quien estudia quizas difiere en otras cosas).

Independencia, covarianza y correlacion

Criterio de independencia: P(S∩A) = P(S)·P(A)? Tenemos 0.42 frente a 0.50·0.63 = 0.315. No coincide: X y A son DEPENDIENTES. Bastaria una casilla que falle para descartar la independencia de toda la tabla.
Codifica numerico: S=1, A=1. E[XA] = suma de productos por su probabilidad: solo la casilla (S,A) aporta 1·1·0.42 = 0.42. Cov = E[XA] − E[X]·E[A] = 0.42 − 0.5·0.63 = 0.105. Positiva: estudiar y aprobar caminan juntos.
Var(X) = 0.5·0.5 = 0.25, σX = 0.5. Var(A) = 0.63·0.37 = 0.233, σA = 0.483. Correlacion r = 0.105/(0.5·0.483) = 0.435: acoplamiento moderado, adimensional y comparable entre problemas.
Lectura final: las binarias tienen Var = p(1−p) — memoriza, la usas en errores estandar de proporcion. Y r = 0.435 con dependientes no implica causalidad: la tabla observacional no experimenta.

Version continua: una densidad conjunta

Problema. Sea f(x,y) = c·x·y en el cuadrado [0,1]x[0,1]. Halla c, las marginales y decide si x e y son independientes.

Solucion paso a paso

Normaliza: ∫₀¹∫₀¹ c·xy dx dy = c·(1/2)·(1/2) = c/4 = 1 → c = 4.
Marginal de x: integra y fuera: fX(x) = ∫₀¹ 4xy dy = 4x·(1/2) = 2x. Analogamente fY(y) = 2y.
Prueba de independencia continua: ¿f(x,y) = fX(x)·fY(y))? 2x·2y = 4xy = f(x,y). SI: son independientes (en continua, ademas implica cov = 0).
E[X] = ∫₀¹ x·2x dx = 2/3 y por simetria E[Y] = 2/3. Si se te pide E[X+Y] = 4/3: la linealidad de la esperanza NO necesita independencia — es la propiedad mas subestimada de toda la teoria.

Dependencia sin covarianza Cov = 0 solo significa SIN RELACION LINEAL. Con y = x^2 simetrica en x, la covarianza es cero y la dependencia total. Para dependencias no lineales miden otras herramientas (correlacion de rangos, mutual information, y en ML simplemente el modelo).

El puente con Bayes

La conjunta es la casa de las dos direcciones de la condicional: P(A|S) = P(S|A)·P(A)/P(S) reorganiza la misma tabla. En una tabla 2x2 TODO esta a la vista: cada condicional es una casilla entre su marginal. Los datos reales son tablas enormes: la conjunta de edad x region x dispositivo es el primer entregable de cualquier analista, antes de cualquier modelo.

Operaciones con conjuntas

Autoexamen cronometrado (20 minutos)

Usa la tabla conductora (S/A) hasta nueva orden.

De la tabla conductora, calcula P(No estudio | No aprob) como probabilidad a dos decimales.

¿Que caracteriza a una tabla de probabilidad JOINT valida?

Covarianza cero implica que las variables son independientes.

Para la densidad conjunta f(x,y) = 4xy en [0,1]x[0,1], calcula E[X] como fraccion decimal.

En una tabla de doble entrada, las sumas por fila o columna se llaman distribuciones (se anotaban al margen).

Empareja concepto con su cuenta.

Video de repaso

Para profundizar

Seeing Theory: visualizaciones de probabilidad
Abre la seccion Multiple Random Variables: conjuntas, covarianza y correlacion interactivas.

Khan Academy: tablas de doble entrada
Ejercicios de marginales y condicionales con solucion.

Busca dos variables de tu vida con covariance positiva pero dependencia NO lineal (gasto en calefaccion vs temperatura exterior, por ejemplo). Esboza su tabla conjunta 3x3 y decide donde fallaria una correlacion de Pearson como unica evidencia.

Compuerta de dominio: Distribuciones conjuntas: dos variables en una sola tabla

Se requiere 70% de aciertos para avanzar.