Regresión lineal simple
Mapa conceptual
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- Lineal simple
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- R-cuadrado
- Residuos
- Supuestos
- Normalidad
- Homocedasticidad
- Independencia
- Multiple
- Multicolinealidad
- Ajuste R2
- AIC/BIC
- Logistica
- Odds ratio
- Sigmoide
- Regularizacion
- Lineal simple
Qué se busca
Modelar el promedio de una respuesta continua condicionada a un predictor. No se busca pasar por cada punto, sino describir el centro de la nube: dado un valor de X, ¿qué valor de Y esperamos de media? Esa esperanza condicional es la recta.
La ecuación
La recta tiene un intercepto, el valor de Y cuando X vale cero, y una pendiente, el cambio medio de Y por cada unidad de aumento en X. Dos números que resumen una relación. Todo el modelo vive en esos dos parámetros.
El término de error
La realidad no cae sobre la recta: cada observación se desvía. El modelo escribe la respuesta como recta más un error aleatorio, que recoge todo lo que el predictor no explica. Ese residuo no es basura: es la variabilidad que el modelo reconoce ignorar.
Mínimos cuadrados
¿Qué recta elegir entre infinitas? El método de mínimos cuadrados escucha la que minimiza la suma de los cuadrados de las distancias verticales. Cuadrar penaliza fuerte los errores grandes y hace el problema derivable y de solución cerrada.
Por qué cuadrados y no valores absolutos
Cuadrar da suavidad matemática y una solución explícita, y castiga más los grandes errores, lo que a menudo refleja mejor el coste de equivocarse mucho. Pero esa misma sensibilidad hace a los mínimos cuadrados frágiles ante atípicos, como luego veremos.
Fórmula de la pendiente
La pendiente resulta ser la covarianza entre X e Y dividida por la varianza de X: cuánto se mueven juntas, normalizado por cuánto varía el predictor. El intercepto ancla la recta en las medias. Todo queda expresado en momentos muestrales.
Interpretar la pendiente
La pendiente es un efecto medio condicional: al subir X una unidad, la Y media sube ese tanto, «si todo lo demás se mantiene». Es una afirmación sobre promedios poblacionales, no una ley determinista sobre cada caso individual.
El engaño del intercepto
El intercepto vale cuando X es cero, pero si cero está fuera del rango observado, no es más que el anclaje matemático de la recta, sin lectura física. Interpretarlo como «la base» cuando nadie tiene X igual a cero es un error frecuente.
R cuadrada
Mide la fracción de la varianza de Y que la recta explica. Un cero significa que la recta no mejora nada respecto a predecir siempre la media; un uno, ajuste perfecto. Es cómoda pero engaña: crece al añadir predictores y no dice si el modelo es correcto.
Descomposición de la varianza
La varianza total de Y se parte en explicada por el modelo más residual no explicada. R cuadrada es simplemente la fracción explicada. Verla como reparto de la incertidumbre aclara qué gana el modelo frente a no usar el predictor en absoluto.
Unidades y escalado
La pendiente depende de las unidades: cambiar de metros a centímetros la multiplica por cien. Por eso comparar la «importancia» de predictores por su pendiente bruta es engañoso; estandarizar las pone en la misma escala.
Ajustar y dibujar
Nunca hay que fiarse solo de los números del ajuste: dibujar la recta sobre la nube de puntos revela en un instante si la linealidad tiene sentido o si la relación curva, se satura o está dominada por un punto. El gráfico manda sobre el resumen.
Relación con la correlación
En el modelo simple, la pendiente estandarizada coincide con el coeficiente de correlación, y probar si la pendiente difiere de cero equivale a probar si la correlación difiere de cero: son la misma pregunta en dos ropajes.
Predicción e interpolación
La recta permite predecir Y para un X dado, de forma fiable dentro del rango observado y arriesgada fuera de él. Predecir la media de Y para un X tiene menos incertidumbre que predecir un caso individual, que añade el ruido propio.
Errores frecuentes
- Interpretar la pendiente como causalidad sin control ni mecanismo.
- Extrapolar la recta lejos del rango de datos observado.
- Celebrar una R cuadrada alta sin mirar si la relación es de verdad lineal.
En regresión lineal simple, la pendiente estima:
Una R cuadrada alta garantiza que el modelo lineal es el adecuado.
El poder del modelo humilde
Aunque simplista, la recta es interpretable, barata y un gran punto de partida. Un modelo complejo que no supera claramente a una recta malgasta transparencia. Empezar por lo simple es una forma de disciplina analítica.
Regresión simple
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R-bloggersEjemplos reproducibles de regresión lineal y su interpretación.
Ajustas una recta que predice ingresos a partir de años de estudio y la pendiente sale 2500. ¿Cómo la interpretas, qué advertencia pondrías y cuándo el intercepto carece de sentido?
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NIST: RegressionReferencia completa de metodos de regresion.
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