Supuestos y diagnóstico
Mapa conceptual
Los supuestos del modelo lineal
- Linealidad: la media de Y cambia de forma lineal con los predictores.
- Homocedasticidad: la varianza del error es constante en todo el rango.
- Independencia: los errores no están correlacionados entre sí.
- Normalidad de los errores: necesaria sobre todo para intervalos en muestras pequeñas.
El residuo como lupa
El residuo es la diferencia entre el valor observado y el predicho: lo que el modelo no pudo explicar. Es la materia prima del diagnóstico. Graficar residuos contra valores predichos revela patrones que los resúmenes globales ocultan.
Linealidad: residuos con forma
Si al dibujar residuos frente a predichos aparece una curva (una U, una ola), el modelo lineal está dejando estructura sistemática sin capturar. La remedida es transformar variables o añadir términos no lineales hasta que el residuo quede sin forma.
Homocedasticidad: el embudo
Si la nube de residuos se abre como un embudo —poca dispersión para predichos pequeños, mucha para grandes— la varianza no es constante. La inferencia se resiente; la solución pasa por transformar la respuesta o usar errores estándar robustos.
Independencia y autocorrelación
En datos ordenados (series temporales, mediciones repetidas), los errores suelen correlacionarse: un residuo positivo tiende a seguir otro positivo. La autocorrelación infla la confianza del modelo. Un gráfico de residuos en el orden de recogida o el estadístico de Durbin-Watson lo delatan.
Normalidad y su alcance
Los supuestos de normalidad importan para intervalos de confianza y valores p en muestras pequeñas; con muestras grandes, el teorema central del límite protege las medias. Un Q-Q plot de residuos muestra desviaciones de la campana.
El Q-Q plot
El gráfico cuantil-cuantil enfrenta los cuantiles de los residuos con los de una normal teórica. Si los puntos siguen la diagonal, la normalidad se sostiene; colas que se despegan delatan asimetría o valores extremos.
Puntos influyentes
No todos los atípicos importan igual: uno con elevado apalancamiento, situado en un extremo del rango de X, puede arrastrar la recta casi él solo. La distancia de Cook combina lejanía y residual para medir cuánto cambiaría el ajuste sin ese punto.
Apalancamiento frente a influencia
El apalancamiento mide cuán lejos está un punto en el espacio de X, la palanca potencial que tiene. La influencia es cuánto cambia realmente el modelo. Un punto con palanca pero que cae en la recta no influye; hay que distinguir potencial de daño real.
Escalado de residuos
Los residuos crudos varían en magnitud según la escala. Estandarizarlos o tipificarlos los hace comparables entre observaciones y permite juzgar cuáles son inusualmente grandes respecto a su propia varianza esperada.
Transformar la respuesta
Cuando el diagnóstico muestra heterocedasticidad o curvatura, una transformación de la respuesta (logaritmo, raíz, una Box-Cox) puede enderezar la relación y estabilizar la varianza de golpe. Es la primera palanca a probar.
Modelos que no son lineales
Si el diagnóstico resiste toda transformación, quizá la relación exija otro modelo: un generalizado para respuestas no normales, o un método no paramétrico. El diagnóstico no solo arregla: a veces anuncia que la familia de modelo es la equivocada.
El orden del diagnóstico
- Ajustar el modelo provisional y dibujar residuos frente a predichos.
- Buscar forma (falta de linealidad) y embudo (heterocedasticidad).
- Revisar puntos de alta influencia y decidir con criterio, no por umbral ciego.
- Corregir con transformación o variables, y volver a diagnosticar.
Errores frecuentes
- Reportar valores p sin haber mirado nunca un gráfico de residuos.
- Eliminar automáticamente todo punto con alta influencia, borrando datos válidos.
- Aplicar correcciones a ciegas sin revalidar que el diagnóstico mejoró.
Un gráfico de residuos frente a valores predichos que se abre en abanico señala principalmente:
Los supuestos del modelo lineal deben comprobarse antes de confiar en los valores p de los coeficientes.
No hay atajo visual
Un buen diagnóstico es visual y repetido: unos pocos gráficos bien leídos dicen más que una batería de test formales aplicados mecánicamente. El estadístico confirma; el ojo descubre lo que no se esperaba.
Iterar el ajuste
El diagnóstico no es un trámite final sino un bucle: cada corrección sugiere volver a mirar. Un modelo maduro es resultado de varias pasadas de ajustar, examinar residuos y refinar, no de un único ajuste ingenuo.
Diagnóstico
Ordena el bucle de diagnóstico de un modelo lineal:
Ajustar
Graficar
Corregir
Revalidar
Residual diagnostics
Gráficos de diagnóstico de residuos explicados con ejemplos.
Tus residuos frente a predichos dibujan una parábola clara. ¿Qué supuesto se viola y qué dos baterías de corrección considerarías, en qué orden?
NIST: Regression
Referencia completa de metodos de regresion.