Integrales multiples
Asi como la integral simple calcula areas bajo curvas, la integral doble calcula volumenes bajo superficies en R3, y la integral triple calcula hipervolumenes en R4.
Interpretacion geometrica: La integral doble de f(x,y) sobre una region R es el volumen entre la superficie z = f(x,y) y el plano xy.
Teorema de Fubini: Permite calcular la integral doble como integrales iteradas. El orden de integracion puede cambiar.
Cambio de orden de integracion
A veces es mas facil integrar primero respecto a x que a y. Cambiar el orden requiere redibujar la region de integracion y ajustar los limites.
Coordenadas polares
Cuando la region tiene simetria circular, conviene usar coordenadas polares: x = rcos(t), y = rsin(t). El diferencial de area cambia: dA = rdrdt.
Ejemplo clasico: La integral de e^(-x^2-y^2) sobre R^2 = pi. De aqui se deduce que la integral de e^(-x^2) sobre R = raiz(pi).
Integrales triples y coordenadas esfericas
La integral triple calcula masa, carga o probabilidad en regiones 3D.
Coordenadas cilindricas: (r, t, z) para simetria axial. dV = rdrdt*dz.
Coordenadas esfericas: (rho, phi, t) para simetria radial. dV = rho^2sin(phi)drhodphidt.
Aplicacion en probabilidad
Las distribuciones continuas multivariadas usan integrales multiples. La probabilidad total debe ser 1: integral doble de f(x,y) dA = 1.
Distribucion normal bivariada: usa la forma cuadraticasociada a la matriz de covarianza. Las esperanzas, varianzas y covarianzas son integrales dobles.
Mapa conceptual
Integrales multiples
- Integrales multiples
- Dobles
- Fubini
- Cambio de orden
- Polares (r dr dt)
- Triples
- Cilindricas
- Esfericas
- Volumen/masa
- Aplicaciones
- Probabilidad total = 1
- Normal bivariada
- E[g(X,Y)]
- Dobles
Ejercicios
Problema: Calcula la integral doble de (x^2+y^2) sobre el disco x^2+y^2 <= 4 usando polares.
Solucion
Paso 1: cambiar a polares
x^2+y^2 = r^2, dA = rdrdt. Region: 0<=r<=2, 0<=t<=2*pi.Paso 2: plantear integral
Integral de 0 a 2*pi, integral de 0 a 2 de r^3 dr dtPaso 3: resolver
Integral de r^3 de 0 a 2 = 4. Luego integral de 4 dt de 0 a 2pi = 8pi.
Paso 1 de 3
En coordenadas polares, el diferencial de area es:
El teorema de Fubini permite cambiar el orden de integracion libremente.
En coordenadas esfericas, dV = rho^2 drho dphi dtheta.
Ordena de menor a mayor dimension:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
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Por que la integral de e^(-x^2) sobre toda la recta real es raiz de pi? Como ayuda pasar a 2D?
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