Cuadernillo de problemas resueltos: integrales y aplicaciones
Este cuadernillo es tu banco de ejercicios con solucion detallada de Calculo Integral. Integrar es la operacion inversa de derivar, y en ciencia de datos aparece cada vez que acumulas: area bajo una curva de densidad, perdida total, probabilidad, gradiente integrado. Como siempre: intenta cada problema cinco minutos en papel antes de revelar la solucion; si necesitas leerla, tapala y reescribela tu solo.
Bloque 1 · Tecnicas de integracion
Problema 1. Calcula la integral ∫ 2x·(x^2 + 1)^6 dx.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Detectar la sustitucion
Busca una funcion interna cuya derivada aparezca multiplicando: la interna es u = x^2 + 1 y su derivada es 2x, que esta ahi. Es la senal del metodo de sustitucion.Paso 2 · Sustituir
Cambia de variable: u = x^2 + 1, du = 2x dx. La integral se convierte en ∫ u^6 du, una potencia pura.Paso 3 · Integrar
Integra la potencia: ∫ u^6 du = u^7/7 + C.Paso 4 · Volver a x
Deshaz el cambio: (x^2 + 1)^7/7 + C.Paso 5 · Chequeo
Verifica derivando: d/dx [(x^2+1)^7/7] = (1/7)·7(x^2+1)^6·2x = 2x(x^2+1)^6 ✓. Comprobar derivando es obligatorio: derivar es mas facil que integrar.
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Problema 2. Calcula ∫ x·e^x dx por integracion por partes.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Elegir tecnica
El integrando es producto de dos familias distintas (polinomio por exponencial): toca partes. Formula: ∫ u dv = uv − ∫ v du.Paso 2 · Repartir
Elige u = x (que se simplifica al derivar) y dv = e^x dx (que no cambia al integrar). Regla practica LIATE: Log, Inversa trig, Algebraico, Trig, Exponencial: el primero de la lista es u.Paso 3 · Derivar e integrar
Calcula du = dx y v = e^x.Paso 4 · Ensamblar
Aplica: x·e^x − ∫ e^x dx = x·e^x − e^x + C = e^x(x − 1) + C.Paso 5 · Chequeo
Verifica: d/dx [e^x(x−1)] = e^x(x−1) + e^x·1 = x·e^x ✓.
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Bloque 2 · Teorema fundamental y areas
Problema 3. Si F(x) = ∫₀^(x^2) sen(t) dt, calcula F′(x).
Solucion paso a paso
Paso 1 · Recordar el TFC
El teorema fundamental dice: si G(x) = ∫₀^x f(t) dt entonces G′(x) = f(x). Aqui el limite superior no es x sino x^2: hay cadena.Paso 2 · Regla de la cadena
Encadena: F′(x) = f(limite) · (derivada del limite) = sen(x^2) · 2x.Paso 3 · Resultado
Resultado: F′(x) = 2x·sen(x^2). El limite inferior constante (0) no aporta nada; si fuera una funcion, restarias termino analogo.
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Problema 4. Halla el area encerrada entre la parabola y = x^2 y la recta y = x + 2.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Cortar
Puntos de corte: x^2 = x + 2 → x^2 − x − 2 = 0 → (x − 2)(x + 1) = 0 → x = −1 y x = 2.Paso 2 · Orientar
Cual queda arriba dentro del intervalo? Prueba x = 0: recta vale 2, parabola vale 0: la recta arriba. Area = ∫ (−1 a 2) [(x + 2) − x^2] dx.Paso 3 · Integrar
Primitiva: x^2/2 + 2x − x^3/3.Paso 4 · Barrow
Evalua en 2: 2 + 4 − 8/3 = 10/3. Evalua en −1: 1/2 − 2 + 1/3 = −7/6.Paso 5 · Restar
Area = 10/3 − (−7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 4.5 unidades cuadradas.
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Problema 5. Halla el valor medio de f(x) = x^2 en [0, 3] y un punto donde la funcion alcanza ese valor medio.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Plantear
Formula del valor medio: (1/(b−a)) ∫ₐᵇ f. Aqui: (1/3) ∫₀³ x^2 dx.Paso 2 · Integral definida
∫₀³ x^2 dx = x^3/3 evaluado de 0 a 3 = 27/3 = 9.Paso 3 · Dividir
Valor medio = 9/3 = 3. Geometricamente: el rectangulo de base 3 y altura 3 tiene la misma area que la bajo la curva.Paso 4 · Teorema medio
Donde x^2 = 3? En x = √3 ≈ 1.732, que cae dentro de [0, 3]: eso garantiza el teorema medio para funciones continuas.
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Bloque 3 · Impropias, volumenes y ecuaciones
Problema 6. Decide si converge ∫₁^∞ 1/x^2 dx y calcula su valor; comparemos con ∫₁^∞ 1/x dx.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Definir como limite
Integral impropia = limite: ∫₁^R x^(−2) dx con R → +∞.Paso 2 · Integrar
Primitiva: −1/x. Evaluada de 1 a R: (−1/R) − (−1) = 1 − 1/R.Paso 3 · Limite
Limite R → ∞: 1 − 0 = 1. Converge a 1, a pesar de sumar una cola infinita.Paso 4 · Comparar
Contraste: ∫₁^∞ 1/x dx = ln(R) → +∞ diverge. Criterio p: ∫₁^∞ 1/x^p converge si y solo si p mayor que 1. La cola de 1/x^2 se aprieta lo bastante para sumar finito.
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Problema 7. La region entre y = x y el eje X en [0, 1] gira alrededor del eje X. Halla el volumen del solido (metodo del disco).
Solucion paso a paso
Paso 1 · Rebanar
Al girar, cada x genera un disco de radio r(x) = x y grosor dx: volumen del disco = π·r^2 dx.Paso 2 · Plantear
Integral: V = π ∫₀¹ x^2 dx.Paso 3 · Calcular
∫₀¹ x^2 dx = 1/3. Volumen V = π/3 ≈ 1.047.Paso 4 · Geometria
Sentido: un cono de radio 1 y altura 1 ocupa π·1^2·1/3 = π/3: coincide, porque el disco de y=x ES un cono.
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Problema 8. Resuelve la ecuacion diferencial dy/dx = 3x^2 con condicion inicial y(0) = 1.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Integrar
Integra ambos lados: y = ∫ 3x^2 dx = x^3 + C.Paso 2 · Aplicar condicion
La condicion inicial fija C: y(0) = 0 + C = 1 → C = 1.Paso 3 · Leer
Solucion: y = x^3 + 1. Una derivada conocida + un punto = funcion recuperada; es exactamente lo que hace el descenso de gradiente al acumular actualizaciones.
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Mapa de estrategias
Que tecnica de integracion uso
- Integrales
- Interna derivada presente
- Sustitucion u = interna
- Cambiar todo a u y du
- Producto de familias
- Partes con LIATE
- u debe morir al derivar
- Limites concretos
- TFC + Barrow
- Cadena si el limite es funcion
- Aplicaciones
- Area: arriba menos abajo
- Volumen: π ∫ r(x)^2 dx
- Media: integral entre longitud
- Infinito
- Impropias: limite de R
- Criterio p: p mayor que 1 converge
- Interna derivada presente
Autoexamen cronometrado (20 minutos)
Resuelve en papel sin mirar arriba y luego responde aqui. Con 5 de 6 apruebas el bloque.
Calcula la integral definida ∫₀² 3x^2 dx.
¿Cual es la primitiva de cos(x)?
La integral impropia ∫₁^∞ 1/x dx converge.
Halla el area entre y = x y y = x^2 en [0, 1] (entre curvas, no bajo una).
En integracion por partes, la formula es ∫ u dv = uv − ∫ du.
Empareja cada integral con la tecnica que le corresponde.
Para profundizar
Khan Academy: Calculo integralEjercicios graduados con retroalimentacion inmediata.
LibreTexts: Calculus (abierto y gratuito)Capitulo 5 y 6 completos con soluciones selectas.
El problema 6 explica por que existe la media de una normal pero no la de ciertas Pareto de colas muy pesadas: busca un dataset real de ingresos o tamanos de fichero y comprueba si su cola "integra". ¿Que le pasa a la media muestral cuando la teorica no existe?
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