Sistemas lineales: Gauss y Gauss-Jordan
Mapa conceptual
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El sistema como problema
Un sistema lineal son varias ecuaciones con las mismas incógnitas, todas de primer grado. Geométricamente cada ecuación es una recta o un plano, y resolver el sistema es buscar donde todos se intersecan. Ese corte puede ser un punto, una recta, nada o todo el espacio.
Tres posibilidades
- Solución única: las restricciones fijan exactamente un punto (sistema compatible determinado).
- Infinitas soluciones: se cortan en una recta o plano (compatible indeterminado).
- Sin solución: las restricciones se contradicen (incompatible).
La matriz ampliada
Todo el sistema se puede copiar a una matriz: coeficientes de las incógnitas a la izquierda y términos independientes a la derecha, separados. Trabajar con esa matriz ampliada, en vez de reescribir ecuaciones, es más limpio y es lo que hace Gauss.
Operaciones elementales
- Intercambiar dos filas (reordenar ecuaciones).
- Multiplicar una fila por un número no nulo (escalar una ecuación).
- Sumar a una fila un múltiplo de otra (restar una ecuación a otra).
Por qué no cambian la solución
Las tres operaciones son reversibles y no alteran el conjunto de soluciones: son trucos contables para simplificar el sistema sin romperlo. Por eso puedes transformar hasta una forma triangular y saber que la solución se ha conservado intacta.
Forma escalonada (Gauss)
El objetivo de la eliminación de Gauss es llegar a una matriz escalonada: ceros por debajo de cada pivote diagonal. Entonces el sistema es triangular y se resuelve «hacia atrás» (sustitución regresiva): de la última incógnita a la primera.
Forma reducida (Gauss-Jordan)
Si además se hacen ceros las entradas por encima de cada pivote y los pivotes valen uno, se obtiene la diagonal identidad y la solución se lee directamente en la columna derecha. Gauss-Jordan va un paso más allá de Gauss.
Pivotes y filas nulas
Un pivote es el primer valor no nulo de una fila escalonada: fija una incógnita. Si aparece una fila de ceros con término independiente no nulo, el sistema es imposible. Una fila toda de ceros indica grados de libertad: infinitas soluciones.
| Qué aparece al reducir | Interpretación | Soluciones |
|---|---|---|
| Identidad en los coeficientes | todo fijado | una única |
| Fila de ceros igual a 0 | grados de libertad | infinitas |
| Fila de ceros igual a k no nulo | contradicción | ninguna |
| Pivote menos que incógnitas | variables libres | infinitas |
Al aplicar eliminación de Gauss aparece una fila de todos ceros con término independiente 5 (o sea, 0 igual 5). ¿Qué significa?
Variables libres
Cuando hay menos pivotes que incógnitas, las que no tienen pivote son «libres»: pueden valer lo que quieras, y las demás se expresan en función de ellas. Esa es la firma de las infinitas soluciones y está ligada al rango de la matriz.
El costo de resolver
La eliminación gaussiana escala con el cubo del número de incógnitas. Para sistemas enormes se prefieren métodos iterativos, pero Gauss sigue siendo el referente conceptual: casi todo lo que «resuelve» un sistema lineal es una variación de la misma idea.
Resolver es invertir
Calcular la inversa de una matriz equivale a resolver muchos sistemas a la vez. Y en machine learning, el ajuste por mínimos cuadrados se resuelve con un sistema lineal. Dominar Gauss abre puertas a media álgebra aplicada.
Errores frecuentes
- Usar una operación que sí cambia el conjunto solución (multiplicar una fila por cero).
- Olvidar el caso de fila nula y concluir «solución única» demasiado pronto.
- No revisar el sistema sustituyendo la solución encontrada.
Si tras reducir el sistema aparece una fila de coeficientes nulos con término independiente distinto de cero, el sistema tiene infinitas soluciones.
Del papel a NumPy
En la práctica se resuelve con herramientas (numpy.linalg.solve), pero entender Gauss permite diagnosticar cuándo un sistema está mal planteado: si la librería protesta por una matriz singular, ahí había o bien cero o bien infinitas soluciones.
Ordena las etapas de la eliminación de Gauss:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que no tenga solución y otro con infinitas. Reduce cada uno con Gauss y señala qué fila te revela el desenlace.
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3Blue1Brown: Linear AlgebraSerie Essence of Linear Algebra con intuicion geometrica.
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