Derivadas parciales y Jacobiano
En funciones de varias variables, no basta con una sola derivada. Cada variable tiene su propia derivada parcial, que mide como cambia la funcion cuando movemos solo esa variable, manteniendo las demas fijas.
Para una funcion f(x, y), las derivadas parciales se escriben: df/dx y df/dy. Geometricamente, son las pendientes de las curvas de nivel en cada direccion.
Ejemplo: Si f(x,y) = x^2y + 3x*y^3, entonces df/dx = 2xy + 3y^3 y df/dy = x^2 + 9xy^2.
El gradiente como vector
El gradiente nabla_f es el vector formado por todas las derivadas parciales. Apunta en la direccion de maximo crecimiento de la funcion.
En machine learning, el gradiente es fundamental: el descenso de gradiente usa -nabla_f para encontrar minimos de la funcion de perdida.
La matriz Jacobiana
Cuando tenemos una funcion vectorial F: R^n -> R^m (varias funciones de varias variables), la matriz Jacobiana J contiene todas las derivadas parciales de primer orden.
Interpretacion: El Jacobiano es la mejor aproximacion lineal de F cerca de un punto. Su determinante mide como F deforma areas o volumenes.
Aplicacion en ML: En redes neuronales, la retropropagacion es esencialmente la cadena de Jacobianos de cada capa.
La matriz Hessiana
La matriz Hessiana H contiene las derivadas parciales de segundo orden. Es simetrica y describe la curvatura local de la funcion.
Para clasificar puntos criticos: Si H es definida positiva -> minimo local. Si es definida negativa -> maximo local. Si tiene eigenvalores de signos mixtos -> punto de silla.
En optimizacion de segundo orden (metodo de Newton), se usa H^{-1} nabla_f para converger mas rapido que el gradiente simple.
Mapa conceptual
Calculo Multivariable
- Derivadas de orden superior
- Primer orden
- Derivadas parciales
- Gradiente
- Jacobiano J
- Segundo orden
- Hessiana H
- Clasificacion de criticos
- Metodo de Newton
- Aplicaciones
- Optimizacion
- Backpropagation
- Cambio de variables
- Primer orden
Ejercicios y practica
Problema 1: Calcula el Jacobiano de la transformacion de coordenadas polares: x = rcos(t), y = rsin(t).
Solucion paso a paso
Paso 1: derivadas parciales
dx/dr = cos(t), dx/dt = -rsin(t), dy/dr = sin(t), dy/dt = rcos(t)Paso 2: matriz Jacobiana
J = [[cos(t), -rsin(t)], [sin(t), rcos(t)]]Paso 3: determinante
det(J) = rcos^2(t) + rsin^2(t) = r. Por eso dA = rdrdt en polares.
Paso 1 de 3
Que mide el determinante del Jacobiano?
La matriz Hessiana siempre es simetrica si las derivadas segundas son continuas.
El gradiente apunta en la direccion de .
Relaciona cada concepto con su orden:
Wikipedia: Jacobian matrixReferencia completa sobre el Jacobiano y sus aplicaciones.
Por que crees que la retropropagacion en redes neuronales se puede ver como una cadena de Jacobianos?
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