Cuadernillo de problemas resueltos: errores, raices e interpolacion
Los modelos de machine learning no resuelven ecuaciones: las aproximan iterando. Este cuadernillo te entrena en el calculo del dia a dia de un cientifico de datos: medir el error, acotar una raiz por biseccion, acelerar con Newton, interpolar datos, integrar a mano cuando no hay formula cerrada y darte cuenta de cuando un sistema esta mal acondicionado. Cada problema viene con suaritmetica completa: no te saltes pasos.
Bloque 1 · Error y raices
Problema 1. Aproxima pi por 22/7. Calcula el error absoluto y el error relativo (en porcentaje).
Solucion paso a paso
Paso 1 · Escribir
Valores: 22/7 = 3.142857143 y π = 3.141592654.Paso 2 · Absoluto
Error absoluto = |3.142857 − 3.141593| = 0.001264.Paso 3 · Relativo
Error relativo = 0.001264 / 3.141593 = 0.000402, es decir 0.04%.Paso 4 · Conexion
Lectura: el 0.001264 por si solo no dice nada; relativo al tamano de la magnitud es 4 centesimas por ciento. En metricas de modelo se reportan ambos: MAE (absoluto) y MAPE (relativo).
Paso 1 de 4
Problema 2. Cuenta las iteraciones de biseccion necesarias para acotar la raiz de f(x) = x^3 − x − 2 en [1, 2] con tolerancia 10^(−3), y da el resultado aproximado.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Bracketing
Primero comprueba cambio de signo: f(1) = 1 − 1 − 2 = −2 y f(2) = 8 − 2 − 2 = +4. Hay raiz: el teorema intermedio la garantiza (f es continua).Paso 2 · Contar
Cota de iteraciones: el intervalo se parte a la mitad cada paso, tamano tras n pasos = (b−a)/2^n. Exige (2−1)/2^n ≤ 0.001 → 2^n ≥ 1000 → n ≥ log2(1000) ≈ 9.97 → n = 10 iteraciones.Paso 3 · Paso 1
Itera y anota: c = 1.5, f(c) = 3.375 − 1.5 − 2 = −0.125 → nueva horquilla [1.5, 2].Paso 4 · Encoger
c = 1.75: 5.36 − 1.75 − 2 = +1.61 → [1.5, 1.75]. c = 1.625: 4.29 − 1.63 − 2 = +0.67 → [1.5, 1.625]. c = 1.5625: +0.25 → [1.5, 1.5625]. c = 1.53125: +0.06 → [1.5, 1.53125]. c = 1.515625: −0.034 → [1.515625, 1.53125].Paso 5 · Resultado
Tras 6 iteraciones la horquilla mide 0.0156 y la raiz esta en torno a 1.521 (valor real 1.5214). Cada iteracion compra exactamente un bit de precision: cero sorpresas, convergencia lineal y garantizada.
Paso 1 de 5
Problema 3. Aplica Newton a f(x) = x^2 − 2 desde x0 = 1.5, dos iteraciones. ¿Cuantas cifras correctas ganas por paso?
Solucion paso a paso
Paso 1 · Montar
Formula de Newton: x_(n+1) = x_n − f(x_n)/f′(x_n). Aqui f′(x) = 2x, o sea x − (x^2−2)/(2x), que simplifica a la media (x + 2/x)/2.Paso 2 · Primera
Iteracion 1: x1 = (1.5 + 2/1.5)/2 = (1.5 + 1.33333)/2 = 1.41667.Paso 3 · Segunda
Iteracion 2: x2 = (1.41667 + 2/1.41667)/2 = (1.41667 + 1.41176)/2 = 1.41422. La raiz real es 1.41421356.Paso 4 · Convergencia
Cifras correctas: x0 aporta 1 (1.5 frente a 1.41), x1 aporta 4 decimales, x2 cinco mas: el numero de cifras se DOBLA cada paso. Eso es convergencia cuadratica; el precio a cambio: evaluar f y f′ y un punto de partida cerca.
Paso 1 de 4
Bloque 2 · Interpolacion e integracion numerica
Problema 4. Interpola por Lagrange los puntos (1, 2), (2, 5), (3, 10) y estima P(2.5).
Solucion paso a paso
Paso 1 · Bases
Formula: P(x) = Σ yᵢ·Lᵢ(x), con Lᵢ el polinomio que vale 1 en xᵢ y 0 en los demas: L1 = (x−2)(x−3)/((1−2)(1−3)), L2 = (x−1)(x−3)/((2−1)(2−3)), L3 = (x−1)(x−2)/((3−1)(3−2)).Paso 2 · Ensamblar
Sustituye los y: P(x) = 2·(x−2)(x−3)/2 + 5·(x−1)(x−3)/(−1) + 10·(x−1)(x−2)/2.Paso 3 · Simplificar
Expande: (x^2 − 5x + 6) − 5(x^2 − 4x + 3) + 5(x^2 − 3x + 2) = x^2 + 1. Los tres puntos de hecho vivian sobre y = x^2 + 1.Paso 4 · Evaluar
P(2.5) = 6.25 + 1 = 7.25.Paso 5 · Cautela
Aviso: con muchos puntos, Lagrange global oscila salvajemente entre nodos (fenomeno de Runge). En la practica se interpolan trozos: splines.
Paso 1 de 5
Problema 5. Aproxima ∫₀¹ x^2 dx con la regla del trapecio para n = 4 y da el error frente al valor exacto 1/3.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Malla
Nodos con h = 0.25: x = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 con f = 0, 0.0625, 0.25, 0.5625, 1.Paso 2 · Aplicar
Trapecio: T = (h/2)·[f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 + f4] = 0.125·[0 + 2(0.875) + 1] = 0.125·2.75.Paso 3 · Error
T = 0.34375. Error = 0.34375 − 0.33333 = +0.0104: el trapecio sobreestima porque x^2 es convexa (las cuerdas quedan por encima).
Paso 1 de 3
Problema 6. Resuelve la misma integral con Simpson para n = 2 (h = 0.5). ¿Por que sale exacta?
Solucion paso a paso
Paso 1 · Formula
Simpson: S = (h/3)·[f(0) + 4f(0.5) + f(1)] = (0.5/3)·[0 + 4(0.25) + 1].Paso 2 · Calcular
S = (0.5/3)·2 = 1/3: exactamente el valor verdadero.Paso 3 · Por que
Razon: Simpson encaja una parabola en cada tramo y x^2 ES una parabola: el grado 2 lo integra sin error. Simpson es exacto hasta cubicas (error del orden de h^4).
Paso 1 de 3
Bloque 3 · Sistemas y flotantes
Problema 7. El sistema x + y = 2 ; x + 1.01y = 2.01 tiene solucion (1, 1). ¿Que pasa si el segundo termino pasa a 2.02? Conclusionea sobre el condicionamiento.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Resolver original
Restando ambas ecuaciones: 0.01y = 0.01 → y = 1 y x = 1.Paso 2 · Perturbado
Con b2 = 2.02: 0.01y = 0.02 → y = 2 y x = 0.Paso 3 · Sensibilidad
La entrada cambio un 0.5% y la solucion un 100%: las dos rectas son casi paralelas. Matriz MAL condicionada; cualquier redondeo se amplifica.Paso 4 · Defensa
Defensa: pivoteo parcial, escalado, y en ML la regularizacion (λI) que "separa" las rectas. Si tu matriz de caracteristicas tiene columnas casi multiples, el modelo es inestable: de ahi la multicolinealidad.
Paso 1 de 4
Problema 8. ¿Es 0.1 + 0.2 igual a 0.3 en un ordenador? ¿Y (10^16 + 1) − 10^16?
Solucion paso a paso
Paso 1 · Comparacion
0.1 y 0.2 no tienen representacion exacta en binario: 0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004. Compara con tolerancia: abs(a − b) menor que eps, nunca con ==.print(0.1 + 0.2) # 0.30000000000000004Paso 2 · Absorcion
10^16 + 1: el float64 guarda 15-16 cifras significativas; el 1 queda por debajo de la ultima y se traga: (10^16 + 1) − 10^16 = 0. La suma deja de ser asociativa.print((1e16 + 1) - 1e16) # 0.0Paso 3 · Regla
Consecuencia practica: al promediar millones de gradientes, suma en orden creciente de tamano o usa Kahan/float64; los frameworks de entrenamiento lo hacen por ti por algo.
Paso 1 de 3
Mapa de estrategias
Que metodo numerico uso
- Numeros y tolerancias
- Raices
- Biseccion: barata y a prueba de balas
- Newton: cuadratica si x0 cerca
- Datos dispersos
- Lagrange para pocos puntos
- Splines para muchos
- Integrales sin formula
- Trapecio: convexidad sesga
- Simpson: exacta hasta cubica
- Sistemas
- Pivoteo contra pivotes pequenos
- Regulariza si esta mal condicionada
- Punto flotante
- Compara con epsilon
- Cuidado con la absorcion
- Raices
Autoexamen cronometrado (20 minutos)
Papel y lapiz primero; aqui solo las respuestas finales.
Cuántas iteraciones de biseccion garantizan precision 10^(−3) en un intervalo de longitud 1. Usa n = log2(1000) y redondea al entero de arriba.
¿Que dato EXTRA necesita Newton frente a biseccion?
La regla de Simpson es exacta para polinomios de grado 3 o menos.
Interpola con el polinomio del problema 4 (P(x) = x^2 + 1): cuanto vale P(3.5)?
El error de 22/7 al aproximar pi vale 0.001264; el error lo expresa como 0.04% de la magnitud.
Empareja metodo con su garantia.
Para profundizar
MIT OpenCourseWare: Computational ScienceApuntes y problemas resueltos de analisis numerico, gratuito y estable.
MIT OCW: Introduction to Numerical MethodsApuntes gratuitos del curso de metodos numericos del MIT: condicion y estabilidad explicadas con rigor.
El problema 7 conecta con tu proximo modelo lineal: si dos caracteristicas son casi proporcionales, los coeficientes saltan con cada fila nueva. ¿Que tecnica de preprocessing de tu toolbox rompe ese paralelismo?
Tu texto se guarda sólo en este dispositivo.
Comentarios
Inicia sesión para comentar.
Todavía no hay comentarios. Sé la primera persona en opinar.