Series de Taylor y aproximaciones

La serie de Taylor expresa cualquier funcion suave como una suma infinita de potencias. Es la herramienta fundamental para aproximar funciones complejas con polinomios simples.

Cuando a = 0, se llama serie de Maclaurin. Ejemplos: e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...

Aproximacion de primer orden (lineal)

Truncar la serie al primer termino da la aproximacion lineal: f(x) = f(a) + f(a)*(x-a). Es la recta tangente.

En varias variables: f(x,y) = f(a,b) + df/dx(x-a) + df/dy(y-b). Esto es el plano tangente.

Aproximacion de segundo orden (cuadratica)

Incluir el segundo termino da la aproximacion cuadratica, que usa la Hessiana: f(x) = f(a) + nabla_f(x-a) + (1/2)(x-a)^TH*(x-a).

Esta es la base del metodo de Newton para optimizacion: en vez de seguir el gradiente (lineal), se usa la curvatura (cuadratica) para converger mas rapido.

Taylor en machine learning

Funcion de perdida: Cerca de un minimo, L(theta) = L(theta) + (1/2)(theta-theta)^TH(theta-theta*). El Hessiano determina la velocidad de convergencia.

Linealizacion: Muchos algoritmos (como el filtro de Kalman extendido) linealizan modelos no lineales con Taylor de primer orden.

Gradiente descendente como Taylor truncado: theta_{n+1} = theta_n - eta*nabla_L es equivalente a minimizar la aproximacion lineal de L.

Radio de convergencia

No toda serie de Taylor converge para todo x. El radio de convergencia es la distancia al punto singular mas cercano.

Ejemplo: 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... converge solo para |x| < 1.

Ejercicios

Problema: Escribe la serie de Maclaurin de ln(1+x) y usala para aproximar ln(1.1).