Interpolación polinómica y splines
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El problema de interpolar
Se conocen los valores de una función en ciertos nodos y se quiere estimar la función entre ellos. La interpolación exige que la curva construida pase exactamente por los datos conocidos, a diferencia del ajuste por mínimos cuadrados, que solo se acerca.
Existencia y unicidad
Por n más 1 puntos con abcisas distintas pasa un único polinomio de grado menor o igual a n. Este teorema garantiza que el problema está bien planteado: hay una y solo una solución polinómica. Pero que exista no significa que sea una buena idea usarla.
Forma de Lagrange
El polinomio de Lagrange se escribe como combinación de polinomios base, cada uno que vale uno en un nodo y cero en los demás. Es elegante y directo para razonar, pero costoso de evaluar si cambian los datos, pues hay que recomponerlo entero.
Forma de Newton
El interpolador de Newton usa diferencias divididas y una base anidada que se presta a actualizar cuando se añaden nodos, y a evaluar de forma eficiente. Matemáticamente da el mismo polinomio que Lagrange; la diferencia está en la estabilidad numérica y el coste de cálculo.
El fenómeno de Runge
Al interpolar una función suave con un único polinomio de alto grado sobre nodos equiespaciados, el error puede dispararse cerca de los extremos del intervalo. Aumentar el grado, lejos de ayudar, empeora la aproximación: es la señal de que un solo polinomio global es una mala elección.
Por qué oscila tanto
Los polinomios de alto grado tienen mucha libertad para curvarse, y esa libertad se usa en oscilar entre nodos para satisfacer las condiciones. Con nodos equiespaciados, esa oscilación se amplifica en los bordes. La interpolación exacta no implica buen comportamiento entre los datos.
Nodos de Chebyshev
Si se insiste en un polinomio global, distribuir los nodos más juntos cerca de los extremos (nodos de Chebyshev) mitiga el fenómeno de Runge. Muestra que el problema no era el grado en sí, sino la combinación de alto grado con nodos mal colocados.
La idea de trocear
En lugar de un polinomio loco de grado alto para todos los puntos, se usan muchos polinomios de bajo grado, cada uno en un tramo corto entre dos nodos. Bajando el grado local se recupera la estabilidad: así nace la interpolación por tramos.
Splines lineales
La versión más simple: unir puntos consecutivos con segmentos rectos. Continua por construcción, barata y nunca oscila, pero con esquinas en los nodos. Sus derivadas primeras saltan, lo que resulta factible pero poco elegante para modelar magnitudes que se espera suaves.
Splines cúbicos
Un spline cúbico encaja un polinomio de grado tres por tramo y exige que la función, su primera y su segunda derivada sean continuas en los nodos. El resultado es una curva globalmente suave que pasa por todos los datos sin las oscilaciones del alto grado.
Por qué cúbicos
El grado tres es el mínimo que permite continuidad de la segunda derivada entre tramos, dando suavidad suficiente para la mayoría de aplicaciones. Grados mayores traen más flexibilidad y más riesgo de oscilación, con poco beneficio: el cúbico es el punto dulce.
Condiciones de frontera
Para determinar el spline cúbico hace falta cerrar el sistema con condiciones en los extremos: segundas derivadas nulas (natural), pendiente prescrita, o periodicidad. La elección cambia la curva cerca de los bordes; el spline natural minimiza una medida de curvatura total.
El sistema tridiagonal
Imponer la continuidad de la segunda derivada conduce a un sistema lineal de matriz tridiagonal, que se resuelve en tiempo lineal con eliminación gaussiana especializada. Esa estructura es la razón de que los splines sean tan baratos de calcular incluso con miles de nodos.
Interpolar frente a suavizar
Cuando los datos contienen ruido, pasar exactamente por cada punto hereda el ruido. El suavizado por splines (smoothing spline) relaja la interpolación exacta con un ajuste casi-interpolante que controla el compromiso entre fidelidad y suavidad.
En ciencia de datos
Splines y bases de funciones son la puerta de entrada a modelos aditivos y a la expansión de características no lineales: transformar una variable continua en una base de splines permite a un modelo lineal capturar curvas sin abandonar la convexidad del ajuste.
Errores frecuentes
- Subir el grado de un único polinomio creyendo que mejora siempre la aproximación.
- Interpolar exactamente datos ruidosos y confundir el resultado con señal real.
- Ignorar las condiciones de frontera y obtener curvas raras cerca de los extremos.
El fenómeno de Runge muestra que:
Un spline cúbico exige continuidad de la función y de sus primeras dos derivadas en los nodos interiores.
Monotonía y preservación de forma
Un spline cúbico ordinario puede crear máximos o cruces que no estaban en los datos, rompiendo la monotonía. Los splines que preservan forma ajustan las tangentes en los nodos para no inventar oscilaciones, esenciales al graficar magnitudes que deben crecer siempre.
En varias dimensiones
La interpolación se generaliza a mallas y a superficies, y con datos dispersos a funciones base radiales como los delgados (thin plate). La intuición de trocear y penalizar la rugosidad se mantiene, aunque la construcción es más rica.
Interpolación: vocabulario
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Splines by John CookConstrucción e intuición geométrica de los splines cúbicos.
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