Cuadernillo de problemas resueltos: de la muestra a la conclusion
La inferencia es el arte de admitir cuanto no sabes. Este cuadernillo resuelve de principio a fin las cuentas que sostienen un experimento A/B, un informe de encuesta o una validacion de modelo: error estandar, intervalos de confianza con z y con t, contrastes de media y de proporcion, tamano muestral y el puente entre intervalo e hipotesis. Cada paso esta calculado para que lo reproduzcas con papel y una tabla.
Bloque 1 · Cuanto baila la media
Problema 1. La poblacion tiene σ = 15. Tomas n = 25. ¿Cual es el error estandar de la media? ¿Que abanico de valores "normales" te da para x̄ = 100?
Solucion paso a paso
Paso 1 · Calcular SE
Regla raiz: SE = σ/√n = 15/√25 = 15/5 = 3. Cuadruplicar la muestra solo divide el error por 2.Paso 2 · Dos errores
Por el teorema central del limite, x̄ cae aproximadamente 100 ± 2·3 = (94, 106) en el 95% de las muestras.Paso 3 · Regla 68-95-99.7
Lectura: el "±2 SE" es el atajo del 95%: con el 68% dentro de 1 SE y 99.7% dentro de 3. Guarda estos tres numeros: se usan todo el tiempo.
Paso 1 de 3
Problema 2. x̄ = 52, σ = 10 (conocida), n = 100. Construye el IC 95% de la media poblacional.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Error estandar
SE = 10/√100 = 1.Paso 2 · Critico
Critico z para 95%: 1.96.Paso 3 · Ensamblar
Margen = 1.96·1 = 1.96. IC = 52 ± 1.96 = (50.04, 53.96).Paso 4 · Interpretar
Interpretacion frecuentista correcta: repitiendo el procedimiento infinitas veces, el 95% de los intervalos generados capturarian μ. NO digas "hay 95% de probabilidad de que μ este en ESTE intervalo": μ es fijo, el azar estaba en la muestra.
Paso 1 de 4
Problema 3. No conoces σ: una muestra de n = 9 da x̄ = 100 y s = 3. IC al 90%.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Elegir
σ desconocida y muestra pequena: usa t de Student con gl = n − 1 = 8.Paso 2 · Componentes
SE = s/√n = 3/3 = 1. Critico t(8) para 90% a dos colas: 1.860.Paso 3 · Calcular
IC = 100 ± 1.86 = (98.14, 101.86). Compara con z que habria dado 1.645: la t es mas ancha porque s mismo es incierto.Paso 4 · Converger
Con gl grandes t converge a z: a partir de 30 muchos informes usan z sin drama; en rigor, si estimas s de los datos, es t.
Paso 1 de 4
Bloque 2 · Contrastes
Problema 4. Una moneda se lanza 100 veces: 58 caras. Contrasta H0: p = 0.5 frente a "favorece caras" con α = 0.05.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Plantar
Estadistico: p̂ = 0.58. Bajo H0, SE = √(p0(1−p0)/n) = √(0.25/100) = 0.05. Ojo: el SE del CONTRASTE usa p0, no p̂.Paso 2 · Dividir
z = (0.58 − 0.50)/0.05 = 1.6.Paso 3 · Cola
p-valor (una cola) = P(Z mayor que 1.6) = 1 − 0.9452 = 0.0548.Paso 4 · Concluir
Decision: 0.0548 mayor que 0.05 → NO rechazamos; con hipotesis dos colas p = 0.1096, todavia peor. Conclusion honesta: pista debil, faltan lanzamientos. Un p cercano a 0.05 no es "casi significativo", es no significativo a tu α declarada.
Paso 1 de 4
Problema 5. Versión A de una app retiene {48, 55, 52, 49, 56} usuarios activos; versión B {42, 44, 50, 46, 48}. Test t de dos muestras, α = 0.05.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Medias
Medias: A = 260/5 = 52; B = 230/5 = 46. Diferencia observada: 6.Paso 2 · Dispersión
Sumas de cuadrados: A: 16 + 9 + 0 + 9 + 16 = 50; B: 16 + 4 + 16 + 0 + 4 = 40.Paso 3 · Agrupar
Varianza combinada: sp^2 = (50 + 40)/(5 + 5 − 2) = 90/8 = 11.25. SE = √(11.25·(1/5 + 1/5)) = √4.5 = 2.121.Paso 4 · Estadistico
t = 6/2.121 = 2.83 con gl = 8. La tabla t(8) marca 2.306 para el 5% y 2.896 para el 2% a dos colas: p cae entre 0.02 y 0.05 (valor exacto ≈ 0.022).Paso 5 · Reportar
Rechazamos H0: A retiene mas que B con evidencia significativa. Reporte profesional: "diferencia 6.0, IC 95% (1.1, 10.9), t(8) = 2.83, p = 0.022" — los cuatro numeros, no solo la estrella.
Paso 1 de 5
Bloque 3 · Diseño y dualidades
Problema 6. Quieres detectar una mejora media de 3 puntos con σ = 10, α = 0.05 dos colas y potencia 80%. ¿Cuantas unidades por brazo?
Solucion paso a paso
Paso 1 · Plantear
Logica del calculo: hay que separar las dos hipotesis 1.96 errores estandar bajo H0 mas 0.842 bajo H1; por eso el factor (z_(α/2) + z_β)^2 = (1.96 + 0.842)^2 = 7.85 manda en la formula.Paso 2 · Calcular
Para un contraste simple de una media con σ por observacion: n = 7.85 · (σ/δ)^2 = 7.85 · (10/3)^2 = 7.85 · 11.11 = 87.2 → n = 88.Paso 3 · Dos brazos
Para comparar DOS medias independientes la cuenta se duplica por brazo: n = 2·7.85·100/9 = 174.5 → 175 por brazo. Regla practica: dos brazos cuestan el doble que uno.Paso 4 · Sensibilidad
Lectura economica: detectar efectos pequenos cuesta CARISIMO porque δ va al cuadrado en el denominador: un efecto de 6 puntos habria necesitado n ≈ 22 (una media), cuatro veces menos. Prioriza experimentos con efecto grande y real.
Paso 1 de 4
Problema 7. Del problema 5, construye el IC 95% de la diferencia y comprueba la dualidad con el contraste.
Solucion paso a paso
Paso 1 · Intervalo
IC = diferencia ± t(8) crítico·SE = 6 ± 2.306·2.121 = 6 ± 4.89 = (1.11, 10.89).Paso 2 · Dualidad
El intervalo NO contiene el 0: la dualidad dice que el contraste a α = 0.05 (dos colas) debe rechazar. Y rechazamos: coherencia perfecta.Paso 3 · Regla
Regla memorizable: IC que roza el 0 (p cercano a 0.05), IC dentro (no rechazas), IC lejos (efecto ademas de significativo puede ser irrelevante: mira la magnitud, no la estrella).
Paso 1 de 3
Mapa de decisiones
Que herramienta inferencial uso
- Inferencia
- Una media
- σ conocida: z
- σ estimada: t con n−1 gl
- Proporcion
- SE con p0 del H0
- Valido si np y n(1−p) mayores que 5
- Dos medias
- t de Student agrupada
- Welch si varianzas distintas
- Antes de recoger datos
- Poder: n segun δ y sigma
- Congelar metrica y alfa
- Una media
Autoexamen cronometrado (20 minutos)
Tablas: z95 = 1.96, z90 = 1.645, t(8) 95% = 2.306.
Cual es el error estandar con σ = 20 y n = 16?
¿Cual es la interpretacion correcta de un IC 95%?
Con p-valor = 0.03 puedes afirmar que H0 es falsa con 97% de certeza.
Una encuesta: p̂ = 0.5, n = 400. Calcula el margen de error al 95% (en puntos porcentuales, recuerda SE = √(p(1−p)/n)).
Cuando σ es desconocida y la muestra es pequena, el IC usa la distribucion en lugar de la normal.
Empareja situacion con disenio.
Para profundizar
LibreTexts: Introductory Statistics (abierto)Libro de texto libre con soluciones: explicaciones breves y honestas de cada tecnica.
Seeing Theory (Brown Univ.)Visualizaciones interactivas de intervalos de confianza y p-valores.
El problema 4 acabo en "no rechazamos" con p = 0.0548. En un A/B real con n predimensionado, ¿que habria hecho tu equipo: lanzar, duplicar muestra o matar la idea? Escribe tu politica de decision ANTES de repetir el experimento.
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