Teoría de conjuntos y cardinalidad
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Un conjunto no ordena y no repite: 1, 2, 3 = 3, 1, 2 y 1, 1, 2 es simplemente 1, 2. Dados A y B, la unión A ∪ B lleva los que están en cualquiera; la intersección A ∩ B, los que están en ambos; la diferencia A B, los de A que no están en B; y el complemento Ā, los que no están en A dentro del universo considerado.
| Operación | Símbolo | Contiene los x tales que |
|---|---|---|
| Unión | A ∪ B | x ∈ A o x ∈ B |
| Intersección | A ∩ B | x ∈ A y x ∈ B |
| Diferencia | A B | x ∈ A y x ∉ B |
| Complemento | Ā | x ∉ A (en el universo) |
| Conjunto potencia | P(A) | cada subconjunto de A es un elemento |
Cardinalidad finita y el principio de inclusión-exclusión
Para conjuntos finitos, A ∪ B = A + B − A ∩ B: al sumar ambos tamaños has contado dos veces la intersección, así que la restas una. El conjunto potencia P(A) de un conjunto de n elementos tiene 2ⁿ elementos: cada elemento puede estar o no en cada subconjunto.
Infinitos que se emparejan
Los pares 2, 4, 6, … son «mitad» de los naturales, pero tienen la misma cardinalidad: empareja n con 2n y no sobra nadie. Este tipo de contra-intuición es exactamente lo que hace la correspondencia uno-a-uno con conjuntos infinitos: una parte puede ser tan grande como el todo.
Si A = 1,2,3,4 y B = 3,4,5, ¿cuánto vale A ∪ B?
Existen infinitos de distinto tamaño: los reales son «más» que los naturales.
Clasifica cada conjunto por su cardinalidad.
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Errores con conjuntos
- Confundir ∈ (elemento de) con ⊆ (subconjunto de): 1 es elemento de 1,2, pero 1 es subconjunto de 1,2; y el vacío ∅ es subconjunto de todo conjunto.
- Creer que ∅ = ∅: el primero es el conjunto vacío; el segundo tiene UN elemento (el vacío).
- Olvidar que P(A) = 2ⁿ y no 2·n: para n = 3 son 8 subconjuntos, no 6.
Ejemplo resuelto
- En un curso, 30 estudian Python, 25 estudian R y 10 ambas. ¿Cuántos estudian al menos una?
- Aplica inclusión-exclusión: P ∪ R = P + R − P ∩ R.
- Sustituye: 30 + 25 − 10.
- Resultado: 45 estudiantes estudian al menos uno de los dos lenguajes.
- Comprueba que 45 no excede el total: si el curso tuviera 50, 5 no estudian ninguno.
La teoría de conjuntos es el corazón de las operaciones de base de datos: un JOIN es una intersección sobre claves, un UNION es una unión y un WHERE es un complemento o una intersección con el predicado. Contar sin repetir —como en inclusión-exclusión— es contar bien las filas de una consulta.
Álgebra de conjuntos
Toca una tarjeta para ver la respuesta.
Teoría de conjuntos (repaso formal)Operaciones, diagramas de Venn y cardinalidad, incluidos los infinitos.
Da una biyección explícita que muestre que el conjunto de los enteros positivos y el de los enteros (positivos, negativos y cero) tienen la misma cardinalidad. Explica por qué esto choca con la intuición de que «los enteros son el doble».
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MIT OCW 6.042JMatematicas para Ciencias de la Computacion (MIT OpenCourseWare).
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