Límite de una función

Diagrama de calculo diferencial: curva con recta tangente mostrando la derivada como pendiente. — Conceptos clave del calculo diferencial: limites, derivadas y optimizacion.

Mapa conceptual

Calculo Diferencial
- Limites
  - Sucesiones
  - Funcion
  - Continuidad
- Derivada
  - Razon de cambio
  - Reglas
  - Cadena
- Aplicaciones
  - Recta tangente
  - Aproximacion
  - Razones relacionadas
- Optimizacion
  - Maximos minimos
  - Gradiente
  - Multivariable

El primer intento siempre es sustituir. Si f es razonable y el denominador no se anula, lim f(x) cuando x tiende a a es simplemente f(a). Cuando la sustitución da 0/0 o ∞/∞ tienes una indeterminación: hace falta álgebra.

Caso 0/0: factorizar

Factorizar el numerador

x - 1 ⟹ (x - 1) (x + 1)

La diferencia de cuadrados revela el factor (x − 1) que causa el 0 en el denominador y que después cancela.

Para lim (x² − 1)/(x − 1) cuando x tiende a 1, sustituir da 0/0. Pero (x² − 1) = (x − 1)(x + 1), así que el cociente es (x + 1) siempre que x ≠ 1, y el límite es 1 + 1 = 2. El valor en x = 1 es irrelevante: la función no está definida ahí, pero el límite sí existe.

Cuando el límite no existe

Si al acercarse a a por la izquierda y por la derecha se obtienen valores distintos, el límite no existe. El ejemplo tipo es f(x) = x/x: vale −1 para x negativo y +1 para x positivo.

La curva coincide con x+1 salvo en x=1: el hueco no borra el límite

f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) · f(x) = 2

¿Cuánto vale lim (x² − 9)/(x − 3) cuando x tiende a 3?

Si f(2) no está definida, entonces lim cuando x tiende a 2 de f(x) tampoco puede existir.

Une cada expresión (x tiende al valor indicado) con el resultado del límite.

Gotchas frecuentes

Responder «0/0 = 1» o «0/0 no existe»: 0/0 no es un número, es una bandera para ponerse a manipular.
Cancelar sin justificar: sólo puedes cancelar un factor si x no vale exactamente el punto prohibido, cosa que en un límite siempre puedes asumir.
Racionalizar mal el signo: al multiplicar por el conjugado, cuidado con los productos notables.

Ejemplo resuelto

Calcula lim (√x − 2)/(x − 4) cuando x tiende a 4.
Sustituir da 0/0: hay indeterminación.
Multiplica arriba y abajo por el conjugado (√x + 2).
Arriba queda x − 4; abajo (x − 4)(√x + 2).
Cancela (x − 4) y sustituye: 1/(√4 + 2) = 1/4.

En modelos, los límites laterales son lo que hace que una función de pérdida o una activación (p. ej. ReLU) sean tratables: saber si una función es continua y acotada cerca de un punto decide si el algoritmo numérico convergerá o explotará.

Recetas de cálculo

sustituir primero

siempre el intento n.º 1

0/0

indeterminación: a manipular

factorizar

arma contra x²−a²

conjugado

arma contra raíces

laterales distintos

el límite no existe

hueco

límite existe, función no

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Límites de funciones (repaso formal)Técnicas algebraicas de resolución y criterios de inexistencia.

Sin aplicar la regla de LHôpital, resuelve lim (x³ − 1)/(x − 1) para x→1 usando factorización y comprueba el resultado con valores numéricos muy cercanos a 1 por ambos lados.

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3Blue1Brown: CalculusSerie visual de calculo diferencial con intuicion geometrica.

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