Sistemas de ecuaciones 2×2
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Un sistema como x + y = 10 ; 2x − y = 5 tiene dos incógnitas y dos ecuaciones. Una sola ecuación deja infinitas soluciones (una recta); dos ecuaciones, si son independientes, fijan un único punto. El trabajo es hallarlo con cualquiera de los tres métodos, todos equivalentes.
Los tres métodos, elegidos por comodidad
- Sustitución: despejas una variable en una ecuación y la «sustituyes» en la otra.
- Igualación: despejas la MISMA variable en las dos ecuaciones e igualas.
- Eliminación (reducción): sumas o restas las ecuaciones (tras multiplicar por un número) para hacer desaparecer una variable.
En el ejemplo, la eliminación es inmediata: al sumar x + y = 10 y 2x − y = 5, la y desaparece porque +y y −y se cancelan. Queda 3x = 15, o sea x = 5, y sustituyendo y = 5.
Interpretación gráfica: las tres posibilidades
f(x) = 10 - x · f(x) = 2*x - 5
| Situación geométrica | Significado algebraico | N.º de soluciones |
|---|---|---|
| Rectas que se cortan | ecuaciones independientes | una |
| Rectas paralelas | incompatibles (misma pendiente, distinto corte) | ninguna |
| Rectas que coinciden | dependientes (una es múltiplo de la otra) | infinitas |
¿Cuántas soluciones tiene el sistema 2x + 2y = 6 ; x + y = 3 ?
Un sistema 2×2 puede tener exactamente dos soluciones.
Une cada sistema con la descripción de su solución.
El método de busca hacer desaparecer una variable sumando o restando ecuaciones. Geométricamente, un sistema con solución única corresponde a dos rectas que se . Si las rectas son paralelas, el sistema no tiene .
Dónde se cae la gente
- Elegir mal el método y perder tiempo: si ya tienes x despejada, usa sustitución; si los coeficientes se cancelan solos, usa eliminación.
- Olvidar verificar: sustituye la solución en AMBAS ecuaciones; si solo cumple una, hay error.
- Confundir «paralelas» con «coincidentes»: las paralelas no se tocan (0 soluciones), las coincidentes son la misma recta (∞).
Ejemplo resuelto
- Resuelve 3x + 2y = 16 ; x − y = 2 por sustitución.
- Despeja en la segunda: x = y + 2.
- Sustituye en la primera: 3(y + 2) + 2y = 16.
- Simplifica: 3y + 6 + 2y = 16 → 5y = 10 → y = 2.
- Recupera x: x = 2 + 2 = 4. Solución (4, 2). Verifica: 3·4 + 2·2 = 16 ✓ y 4 − 2 = 2 ✓.
Los sistemas lineales no son un capricho escolar: el ajuste de mínimos cuadrados, el cálculo de un plano de separación o el PCA terminan resolviendo sistemas como este, solo que con miles de incógnitas y no dos. Dominar el 2×2 a mano es lo que te hará confiar cuando el computador resuelva el de 10 000.
Métodos y casos
Toca una tarjeta para ver la respuesta.
Khan Academy · Sistemas de ecuacionesLos tres métodos con ejercicios y su interpretación gráfica.
Plantea un problema real con dos condiciones (por ejemplo, comprar lápices y libretas con un gasto total y una diferencia dada de cantidades). Tradúcelo a un sistema 2×2, resuélvelo por eliminación y explica qué significa tu solución.
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Khan Academy: AlgebraCurso completo de algebra y funciones.
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