La derivada como razón de cambio
Mapa conceptual
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- Limites
Entre dos puntos de una curva, la pendiente del segmento que los une (la recta secante) mide el cambio promedio: Δy/Δx. La derivada es lo que queda cuando arrimas los dos puntos hasta que Δx se acerca a 0: la pendiente de la recta tangente, el ritmo instantáneo.
Nota bien lo que dice la fórmula: f(a) es el valor actual, f(a + h) es el valor un poco después, y h es ese «un poco». Dividir su diferencia entre h da el promedio de cambio; el límite toma h cada vez más pequeño.
Tres lecturas de un mismo objeto
| Lectura | Qué significa f(a) | Quién la usa |
|---|---|---|
| Geométrica | pendiente de la tangente en a | gráficas, aproximación lineal |
| Física | velocidad instantánea en el instante a | movimiento, circuitos |
| Económica/ML | cambio marginal: cuánto aporta la siguiente unidad | gradiente, coste |
f(x) = x^2 · f(x) = 4*x - 4
Derivar x² paso a paso, con la definición
- f(x) = x², entonces f(x + h) = (x + h)² = x² + 2xh + h².
- Diferencia: f(x + h) − f(x) = 2xh + h².
- Divide entre h: (2xh + h²)/h = 2x + h.
- Límite con h → 0: queda 2x.
- Por eso f(x) = 2x, y en x = 2 la pendiente es 4.
Ejemplo resuelto — Usando la idea de la derivada, ¿cuál es la pendiente de la tangente a f(x) = x² en x = 3?
El planteamiento
Usando la idea de la derivada, ¿cuál es la pendiente de la tangente a f(x) = x² en x = 3?Razonamiento
9 es f(3), el valor de la función; la derivada no dice cuánto vales, sino a qué velocidad estás cambiando.Respuesta correcta
6
Paso 1 de 3
Usando la idea de la derivada, ¿cuál es la pendiente de la tangente a f(x) = x² en x = 3?
Si una función es derivable en a, entonces es continua en a.
Asocia cada expresión con la idea que representa.
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Errores conceptuales que hay que matar pronto
- Creer que derivada es «la pendiente de la curva»: la curva no tiene UNA pendiente, la tiene en cada punto.
- Confundir f(a) con f(a): valor contra tasa de cambio. Una función puede valer 1000 y estar cayendo, o valer 0 y subiendo.
- Suponer que toda función continua es derivable: x o una función escalonada rompen la derivabilidad aunque no rompan la continuidad.
En machine learning el gradiente es una derivada (o un vector de ellas): indica en qué dirección crece más la función de pérdida. «Bajar un paso» en el descenso de gradiente es, literalmente, usar la pendiente del terreno para elegir hacia dónde caminar.
La derivada en siete claves
Toca una tarjeta para ver la respuesta.
La derivada (repaso formal)Definición, interpretación geométrica y calculación con la definición de límite.
Una empresa vende q unidades con ingreso R(q) = 100q − q². Explica con la definición de derivada qué significa R(20) y calcula su valor interpretando si conviene vender una unidad más en ese punto.
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3Blue1Brown: CalculusSerie visual de calculo diferencial con intuicion geometrica.
Compuerta de dominio: La derivada como razón de cambio
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