Permutaciones y combinaciones
El factorial
El factorial de n, escrito n!, es el producto de todos los enteros de uno hasta n. Cuenta de cuántas maneras se pueden ordenar n objetos distintos. Por convención, cero factorial vale uno.
Permutaciones: ordenar
Una permutación es un arreglo ordenado. Ordenar n elementos distintos da n! posibilidades. Elegir y ordenar solo k de n da n! partido por factorial de n menos k: es el número de maneras de colocar k elementos distinguiendo posiciones.
Combinaciones: elegir sin orden
Una combinación es un subconjunto, donde el orden no cuenta. Elegir k de n sin orden es el coeficiente binomial, n sobre k, que se obtiene dividiendo las permutaciones entre k! para borrar el orden interno del grupo elegido.
La división que elimina el orden
- Cada subconjunto de k elementos admite k! ordenaciones distintas.
- Al contar permutaciones esas k! aparecen como copias del mismo grupo.
- Dividir entre k! deja una cuenta por grupo, no por orden.
Simetría del triángulo de Pascal
Elegir k de n es lo mismo que descartar n menos k de n, así que n sobre k igual a n sobre n menos k. Esta simetría y la relación de Pascal tejen el triángulo que organiza todos los coeficientes.
Combinaciones con repetición
- Cuando se pueden elegir elementos repetidos, la cuenta cambia.
- Estrellas y barras es un método elegante para repartir indistinguibles.
- Aparece al contar distribuciones sin distinguir orden.
Permutaciones con repetidos
Si entre n elementos hay grupos iguales, intercambiarlos no produce nada nuevo: se divide el factorial por los factoriales de cada grupo repetido. Es la cuenta de anagramas con letras duplicadas.
Elegir el modelo correcto
- ¿Distinguir el orden da un resultado nuevo? Entonces permutaciones.
- ¿Solo importa qué elementos están dentro? Entonces combinaciones.
- ¿Hay repetición permitida? Ajustar la fórmula al caso.
En probabilidad y datos
- El tamaño del espacio muestral sale de contar correctamente.
- Un error de orden se propaga a toda la probabilidad.
- Muestrear con o sin reemplazo cambia permutar por combinar.
Errores frecuentes
- Usar permutaciones cuando el orden no importa y sobrecontar por k!.
- Olvidar que los elementos repetidos exigen dividir entre sus factoriales.
- Confundir muestrear con o sin reemplazo al montar el espacio muestral.
Ejemplo resuelto: comités frente a cargos
De cinco personas hay que formar, primero, un comité de dos sin roles y, después, un dúo con presidente y vocal. Compara ambos conteos.
- El comité sin orden es una combinación: cinco sobre dos.
- Eso vale diez grupos distintos.
- El dúo con cargos distingue quién preside: es una permutación.
- Cada grupo de dos admite dos ordenaciones, así que son veinte.
- La diferencia entre diez y veinte es exactamente el factor del orden.
¿Para qué sirve en la realidad?
Elegir bien entre permutar o combinar sostiene el cálculo de probabilidades y el conteo de espacios muestrales: un error de orden se propaga a toda la probabilidad y puede invalidar un test estadístico o una simulación.
De un grupo de 5 candidatos se elige un comité de 2, sin cargos distintos. El número de comités es:
Elegir k elementos de n sin importar el orden se cuenta con una permutación.
Per y comb
Toca una tarjeta para ver la respuesta.
Clasifica cada elección según el modelo de conteo que le corresponde.
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Coeficiente binomialNúmero de subconjuntos de k elementos tomados de n.
Une cada tarea con el modelo de conteo adecuado:
¿Ordena o solo elige?
- Permutaciones y combinaciones
- Factorial
- producto de uno a n
- producto de uno a n
- ordena n elementos
- Factorial
- importa el orden
- importa el grupo
PermutaciónArreglos ordenados de un conjunto y su recuento.
Explica con un ejemplo propio la diferencia entre «repartir premios» y «repartir caramelos idénticos», y di en cada caso si cuentas con permutaciones o combinaciones.
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